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常微分方程（ODE）描述"一个未知函数对一个自变量的变化"；而偏微分方程（PDE）描述"未知函数对多个自变量的变化"——它是连续介质物理（热、波、电磁场、流体、量子）真正的数学语言。本模块从分类与定解条件入手，用分离变量法统一处理三类典型方程：热方程（抛物）、波动方程（双曲）、拉普拉斯方程（椭圆），并配交互示意图直观感受"扩散、振动、稳态"。
本模块目标
- 能判别二阶 PDE 的类型（椭圆 / 抛物 / 双曲）并对应到物理意义。
- 掌握分离变量法：把 PDE 拆成两个 ODE + 一个特征值问题。
- 会写热方程、波动方程的傅里叶级数解，以及拉普拉斯方程的边值问题。
- 理解数值方法（如 Jacobi 松弛）如何求稳态解。
本模块子章节
- 偏微分方程基本概念与分类 — 什么是 PDE、阶、线性、定解条件（初值/边值）、适定性。
- 分离变量法 — 齐次边界下的核心方法，特征函数 $\sin(n\pi x/L)$ 的叠加。
- 热传导方程 — 抛物型，$u_t=\alpha u_{xx}$，扩散与平滑。
- 波动方程 — 双曲型，$u_{tt}=c^2 u_{xx}$，弦振动与驻波。
- 拉普拉斯方程 — 椭圆型，$\Delta u=0$，稳态温度场与静电势。
三类典型方程一览
| 类型 | 代表方程 | 物理过程 | 定解条件 |
|---|---|---|---|
| 抛物型 | $u_t=\alpha u_{xx}$ | 热扩散、浓度扩散 | 初始温度 + 边界 |
| 双曲型 | $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ | 波传播、振动 | 初始位移 + 初速度 + 边界 |
| 椭圆型 | $u_{xx}+u_{yy}=0$ | 稳态温度、静电势 | 仅边界条件 |
互动演示
下面以一维热传导为例，观察"温度如何随时间扩散并变光滑"。页面底部画板可拖动模态数 N 看傅里叶级数截断的影响，并用播放/重置控制动画（详见热传导方程）。
本章小结
PDE 没有像 ODE 那样的"通用解法"，但三类典型方程 + 分离变量法 + 叠加原理构成了一条主线：把空间部分离散成特征函数（正弦模态），时间/演化部分由指数或余弦支配。后续可延伸到高维、非齐次、以及数值 PDE（有限差分/有限元）。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
一维热传导 $u_t=\alpha u_{xx}$：初值为若干正弦模态叠加，高模态先衰减。