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§1

波动方程（wave equation）是最典型的双曲型 PDE，描述振动与波的传播。一维形式为

$$u_{tt}=c^2\,u_{xx},$$

其中 $u(x,t)$ 是位移（弦的横向位移、声压等），$c>0$ 为波速，下标为偏导。

一、物理来源：弦的微小横振动

对张紧均匀弦，张力 $T$ 产生的恢复力正比于曲率 $u_{xx}$，牛顿第二定律给出

$$\rho u_{tt}=T u_{xx}\quad\Rightarrow\quad u_{tt}=c^2 u_{xx},\ c=\sqrt{T/\rho}.$$

时间、空间均为二阶导，且符号相反（对比热方程的 $u_t=\alpha u_{xx}$），这正是双曲型的本质：信息沿特征线以有限速度 $c$ 双向传播。

量纲检查

张力 $T$ 量纲为 $\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$，线密度 $\rho$ 为 $\mathrm{kg/m}$，故

$$[c]=\sqrt{\frac{\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}}{\mathrm{kg\,m^{-1}}}}=\sqrt{\mathrm{m^2\,s^{-2}}}=\mathrm{m/s},$$

确为速度量纲，与"波速"一致。

二、无穷长弦：达朗贝尔公式

无边界时可用特征变量 $\xi=x-ct,\ \eta=x+ct$，方程化为 $u_{\xi\eta}=0$，通解

$$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct).$$

即向左、向右传播的两个行波，$f$ 以速度 $c$ 右行、$g$ 以速度 $c$ 左行。达朗贝尔公式由初值 $u(x,0)=\varphi(x),\ u_t(x,0)=\psi(x)$ 给出：

$$u(x,t)=\frac{\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.$$

它直观显示：点 $x$ 在时刻 $t$ 的状态，只依赖于初值在区间 $[x-ct,\,x+ct]$（依赖区间）内的值——信息传播速度为 $c$。

达朗贝尔公式的推导

令 $\xi=x-ct,\ \eta=x+ct$，则

$$u_x=u_\xi+u_\eta,\quad u_{xx}=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta},$$

$$u_t=-c(u_\xi-u_\eta),\quad u_{tt}=c^2(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}).$$

代入 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ 得 $u_{\xi\eta}=0$。积分得 $u=F(\xi)+G(\eta)=F(x-ct)+G(x+ct)$。由初值：

$$\varphi(x)=F(x)+G(x),\quad \psi(x)=-cF'(x)+cG'(x).$$

第二式积分得 $\frac{1}{c}\int_0^x\psi(s)\,ds=-F(x)+G(x)+C$。联立解出

$$F(x)=\frac{\varphi(x)}{2}-\frac{1}{2c}\int_0^x\psi(s)\,ds-\frac{C}{2},\quad G(x)=\frac{\varphi(x)}{2}+\frac{1}{2c}\int_0^x\psi(s)\,ds+\frac{C}{2}.$$

代回 $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ 消去常数 $C$，即得达朗贝尔公式。

三、有界弦：分离变量与驻波

对长度 $L$ 两端固定的弦 $u(0,t)=u(L,t)=0$，用分离变量法得特征函数 $\sin(n\pi x/L)$，时间因子为 $\cos(c\sqrt{\lambda_n}\,t)$ 与 $\sin(c\sqrt{\lambda_n}\,t)$。通解

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi x}{L}\Big(A_n\cos\frac{n\pi c}{L}t+B_n\sin\frac{n\pi c}{L}t\Big).$$

各项是驻波：空间形状固定为 $\sin(n\pi x/L)$，整弦以频率 $\omega_n=n\pi c/L$ 整体振动，$x=0,L$ 及内部节点不动。由初值定系数：

$$A_n=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,\quad B_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L\psi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

两端固定的弦只能发出离散频率 $\omega_n=n\pi c/L=n\cdot\omega_1$ 的音（基频 + 谐波），这正是乐器的物理基础。

节点的物理意义

第 $n$ 阶驻波 $\sin(n\pi x/L)$ 在 $x=kL/n\ (k=0,1,\dots,n)$ 处恒为 $0$，这些点不随时间振动，称为节点；两节点之间为波腹。弦乐器上轻触节点位置（泛音点）即可激发对应谐波、抑制基频，是演奏泛音的原理。

四、能量守恒

定义能量

$$E(t)=\frac12\int_0^L\Big(u_t^2+c^2 u_x^2\Big)\,dx = \text{动能}+\text{势能}.$$

对无外力、固定边界情形可证 $\dfrac{dE}{dt}=0$——波动方程解的总能量守恒（动能与势能相互转化，无耗散），与热方程的"持续衰减"形成鲜明对比。

守恒性的直接证明

$$\frac{dE}{dt}=\int_0^L\big(u_t u_{tt}+c^2 u_x u_{xt}\big)\,dx.$$

用 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ 替换第一项，并对第二项分部积分：

$$\frac{dE}{dt}=\int_0^L c^2 u_t u_{xx}\,dx+\frac{c^2}{2}\big[u_x^2\big]_0^L-\frac{c^2}{2}\int_0^L u_{xx}u_t\,dx\cdot 2 =c^2\int_0^L u_t u_{xx}\,dx-c^2\int_0^L u_t u_{xx}\,dx+\frac{c^2}{2}\big(u_x(L)^2-u_x(0)^2\big).$$

固定端 $u(0,t)=u(L,t)=0\Rightarrow u_x$ 在端点处不必然为 $0$，但由边界恒为零对 $t$ 求导得 $u_t(0)=u_t(L)=0$，再结合分部积分边界项实际为 $c^2 u_t u_x\big|_0^L=0$。故 $\dfrac{dE}{dt}=0$，能量守恒。

五、例题与解答

例题1（达朗贝尔）. 无穷弦初值 $\varphi(x)=e^{-x^2},\ \psi(x)=0$。求 $u(x,t)$。

由达朗贝尔公式且 $\psi=0$：

$$u(x,t)=\frac{e^{-(x-ct)^2}+e^{-(x+ct)^2}}{2}.$$

即初始高斯峰分裂成左右两个以速度 $c$ 远离的半高波峰。

例题2（驻波）. 弦长 $L=\pi,c=1$，初值 $u(x,0)=\sin x,\ u_t(x,0)=0$。求 $u(x,t)$。

匹配 $n=1$ 模态：$A_1=1,B_1=0$，其余为 $0$。故

$$u(x,t)=\sin x\cos t.$$

验证了基频驻波：弦整体以 $\omega_1=\pi$ 振动，$x=0,\pi$ 为固定端点，中点振幅最大。✓

例题3（依赖区间）. 无穷弦 $\varphi(x)=0,\ \psi(x)=\begin{cases}1,&|x|<1,\\0,&|x|\ge1.\end{cases}$ 求 $u(0,1/(2c))$。

由达朗贝尔公式

$$u(0,1/(2c))=\frac{1}{2c}\int_{-c\cdot 1/(2c)}^{c\cdot 1/(2c)}\psi(s)\,ds=\frac{1}{2c}\int_{-1/2}^{1/2}1\,ds=\frac{1}{2c}.$$

说明点 $x=0$ 在 $t=1/(2c)$ 时的状态，只由初始速度在 $[-1/2,1/2]$ 内的信息决定。

例题4（谐波频率）. 弦 $L=1,\ c=2$。写出前三个固有频率。

$\omega_n=n\pi c/L=2n\pi$，故 $\omega_1=2\pi,\ \omega_2=4\pi,\ \omega_3=6\pi$——恰好是基频的整数倍（谐波）。

练习

1. 无穷弦 $\varphi(x)=0,\ \psi(x)=\sin x$。用达朗贝尔公式求 $u(x,t)$。

2. 弦 $L=\pi,\ c=1$，初值 $\varphi(x)=\sin(2x),\ \psi=0$。写出解并说明其频率。

3. 由能量定义说明：为何波动方程解不会像热方程那样"逐渐变平"？

4. 第 3 阶驻波 $\sin(3x/L)$ 在 $x\in[0,L]$ 上有几个节点（含端点）？

本章小结

• 波动方程 $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ 是双曲型：信息以速度 $c$ 双向传播、能量守恒、无耗散。
• 无穷弦用达朗贝尔公式（左/右行波）；依赖区间 $[x-ct,x+ct]$ 体现有限传播速度。
• 有界弦用分离变量得驻波叠加，频率为离散的 $\omega_n=n\pi c/L$（谐波）。
• 与热方程对比：波双向传播且守恒，热单向演化且衰减。

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