§1
分离变量法是求解线性齐次 PDE 最主要的方法：假设解可写成"只含空间变量的函数 × 只含时间/另一变量的函数"，代入原方程后把 PDE 拆成若干个常微分方程，再借助边界条件得到一组特征函数，最后用叠加原理和傅里叶级数拼出一般解。
一、核心思想：设 $u(x,t)=X(x)T(t)$
以一维齐次问题为例。把乘积形式代入 PDE，通常能把含 $x$ 的项和含 $t$ 的项分到等式两边，各自等于同一个常数（分离常数），从而得到两个 ODE：
- 空间 ODE（常带边界条件）→ 特征值问题，解出离散的特征值 $\lambda_n$ 与特征函数 $X_n(x)$；
- 时间 ODE → 每个模态随时间的演化 $T_n(t)$。
最终模态解 $u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)$，通解为它们的级数
$$u(x,t)=\sum_{n} c_n\,X_n(x)\,T_n(t),$$
系数 $c_n$ 由初值经特征函数的正交性（傅里叶系数）确定。
为什么要"分离常数"
设 $u=XT$，代入后得到形如 $F(x)=G(t)$ 的等式。等式左只依赖 $x$、右只依赖 $t$，要对任意 $x,t$ 都成立，唯一可能是两边都等于同一个常数 $-\lambda$。这个 $\lambda$ 称为分离常数（取法习惯上是 $-\lambda$，为了让空间方程出现 $X''+\lambda X=0$ 的标准振荡形式）。
二、典型特征值问题：两端固定的弦
对边界 $X(0)=X(L)=0$，考虑
$$X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(L)=0.$$
- 若 $\lambda<0$：解为双曲函数，无法满足两端同时为 $0$（除零解）；
- 若 $\lambda=0$：$X=Ax+B$，只能得零解；
- 若 $\lambda=k^2>0$：$X=A\cos kx+B\sin kx$。由 $X(0)=0\Rightarrow A=0$；由 $X(L)=0\Rightarrow \sin(kL)=0\Rightarrow kL=n\pi$。
于是得到特征值与特征函数
$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\quad n=1,2,3,\dots$$
这些 $\sin\frac{n\pi x}{L}$ 在 $[0,L]$ 上关于权函数 $1$ 正交，正是后续傅里叶正弦级数的基。
正交性的直接验证
对 $m\neq n$，
$$\int_0^L \sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx =\frac12\int_0^L \left[\cos\frac{(m-n)\pi x}{L}-\cos\frac{(m+n)\pi x}{L}\right]dx=0.$$
而对 $m=n$，
$$\int_0^L \sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac{L}{2}.$$
正交性正是傅里叶系数公式里出现 $\frac{2}{L}$ 的原因——它是"归一化因子"的倒数。
三、用傅里叶正弦级数匹配初值
给定初值 $u(x,0)=\varphi(x)$，把它展开成特征函数的级数：
$$\varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad b_n=\frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$
每个 $b_n$ 就是对应模态的系数。于是 PDE 的解由各模态按其时间因子叠加而成。
例（热方程）. $u_t=\alpha u_{xx}$，$u(0,t)=u(L,t)=0$，$u(x,0)=\varphi(x)$。每个模态满足 $T_n'+\alpha\lambda_n T_n=0\Rightarrow T_n(t)=e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$，故
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}.$$
可见 $n$ 越大衰减越快——这正是"高模态先消失、曲线逐渐变光滑"的来源。
例（波动方程）. $u_{tt}=c^2 u_{xx}$，同边界，$u(x,0)=\varphi(x),u_t(x,0)=\psi(x)$。时间因子为 $\cos(c\sqrt{\lambda_n}\,t)$ 与 $\sin(c\sqrt{\lambda_n}\,t)$，解是两个正弦级数（一个配 $\varphi$、一个配 $\psi$）的叠加——驻波。
系数公式的推导
把 $\varphi(x)=\sum b_n\sin(n\pi x/L)$ 两边乘 $\sin(m\pi x/L)$ 并积分：
$$\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{m\pi x}{L}\,dx =\sum_n b_n\int_0^L \sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}\,dx =b_m\cdot\frac{L}{2}.$$
（正交性使求和只剩 $n=m$ 项。）于是
$$b_m=\frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{m\pi x}{L}\,dx.$$
四、非齐次边界与稳态
若边界非齐次（如 $u(0,t)=0,u(L,t)=T_0$），可先找稳态解 $v(x)$ 满足 $v''=0$ 与边界，再令 $w=u-v$，则 $w$ 满足齐次边界的齐次方程，套用上述方法。这是把"难"的边界转化为"易"的齐次问题的一般技巧。
非齐次右端（含源项）的处理
若方程为 $u_t=\alpha u_{xx}+f(x,t)$，则用叠加原理拆成：
$$u=u_h+u_p,$$
其中 $u_h$ 满足齐次方程（用分离变量法求得），$u_p$ 为非齐次特解。求 $u_p$ 的常用办法是把 $f$ 也按同一组特征函数展开：
$$f(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad f_n(t)=\frac{2}{L}\int_0^L f(x,t)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,$$
则每个模态满足常微分方程
$$T_n'(t)+\alpha\lambda_n T_n(t)=f_n(t),$$
再用积分因子逐模态求解，最后与齐次部分相加。这是"特征函数展开法"的核心。
五、例题与解答
例题1（求系数）. 杆初值 $\varphi(x)=x(L-x)$，求傅里叶正弦系数 $b_n$。
$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L x(L-x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$
计算（分部积分两次）得
$$b_n=\frac{4L^2}{n^3\pi^3}\big(1-(-1)^n\big)= \begin{cases}\dfrac{8L^2}{n^3\pi^3},& n\ \text{奇},\\ 0,& n\ \text{偶}.\end{cases}$$
即只有奇模态参与，与"初值关于中点对称"一致。
例题2（分离变量形式）. 直接对 $u_t=\alpha u_{xx}$ 设 $u=X(x)T(t)$，代入得 $X T'=\alpha X'' T$，两边除以 $\alpha X T$ 得
$$\frac{T'}{\alpha T}=\frac{X''}{X}=-\lambda.$$
于是 $X''+\lambda X=0$ 与 $T'+\alpha\lambda T=0$——正是上面的特征值问题 + 指数衰减时间因子。
例题3（含源特解）. 热方程 $u_t=u_{xx}+2\sin(\pi x/L)$，齐次边界，初值 $0$。求稳态模态解。
源项只含 $n=1$ 模态，设特解 $u_p(x,t)=a(t)\sin(\pi x/L)$，代入得
$$a'(t)\sin\frac{\pi x}{L}=a(t)\left(-\frac{\pi^2}{L^2}\right)\sin\frac{\pi x}{L}+2\sin\frac{\pi x}{L}.$$
消去正弦得 $a'(t)+(\pi^2/L^2)a(t)=2$。由初值 $a(0)=0$，解得
$$a(t)=\frac{2L^2}{\pi^2}\left(1-e^{-\pi^2 t/L^2}\right).$$
故 $u(x,t)=\dfrac{2L^2}{\pi^2}\left(1-e^{-\pi^2 t/L^2}\right)\sin(\pi x/L)$，最终趋于稳态 $\dfrac{2L^2}{\pi^2}\sin(\pi x/L)$。
例题4（不同边界的特征值）. 若改为两端绝热 $X'(0)=X'(L)=0$，求特征函数。
解 $X''+\lambda X=0$：非平凡解要求 $\lambda=k^2>0$，通解 $A\cos kx+B\sin kx$；$X'(0)=0\Rightarrow B=0$；$X'(L)=0\Rightarrow -Ak\sin(kL)=0\Rightarrow kL=n\pi$。故特征函数为 $\cos(n\pi x/L),\ n=0,1,2,\dots$（含 $n=0$ 的常数模态）。
练习
1. 对 $X''+\lambda X=0,\ X(0)=X(L)=0$，验证 $n=1,2$ 时 $\int_0^L\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\,dx=0$。
2. 杆初值 $\varphi(x)=\sin(2\pi x/L)$，写出热方程齐次边界解 $u(x,t)$ 的显式表达式。
3. 非齐次边界 $u(0,t)=0,\ u(L,t)=T_0$，写出稳态解 $v(x)$ 并说明令 $w=u-v$ 后 $w$ 满足什么定解问题。
4. 对含源方程 $u_t=u_{xx}+1$（常数源），说明为何不能只取单一正弦模态作特解，应如何展开。
参考答案与提示
1. 直接套用正交性公式，$m\neq n$ 时积分恒为 $0$。
2. 仅 $n=2$ 模态非零，$b_2=1$，故 $u(x,t)=\sin(2\pi x/L)\,e^{-\alpha(2\pi/L)^2 t}$。
3. $v''=0$ 且 $v(0)=0,\ v(L)=T_0\Rightarrow v(x)=T_0 x/L$。则 $w=u-v$ 满足 $w_t=\alpha w_{xx}$，$w(0,t)=w(L,t)=0$，$w(x,0)=\varphi(x)-T_0x/L$。
4. 常数 $1$ 需展开为正弦级数：$1=\sum_{n\ \text{奇}}\frac{4}{n\pi}\sin(n\pi x/L)$，故应逐模态求特解再叠加。
本章小结
- 分离变量法 = 乘积试探 $u=XT$ → 拆成空间 ODE + 时间 ODE + 分离常数。
- 空间 ODE + 齐次边界 = 特征值问题，给出正交的特征函数（如 $\sin(n\pi x/L)$）。
- 初值用特征函数展开成傅里叶级数定系数；不同方程只是时间因子不同（热：指数衰减；波：余弦/正弦）。
- 非齐次边界先减稳态解 $v(x)$ 化为齐次问题；含源项用特征函数展开法逐模态叠加。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
分离变量法：特征函数 X_n(x)=sin(nπx) 叠加逼近方波初值。