§1
热方程（heat equation）是最典型的抛物型 PDE，描述热量（或物质浓度）在介质中的扩散过程。一维形式为
$$u_t=\alpha\,u_{xx},$$
其中 $u(x,t)$ 是温度（或浓度），$\alpha>0$ 为扩散系数（热扩散率），下标表示偏导。
一、物理来源：热平衡与傅里叶定律
考虑细杆微元，由傅里叶导热定律热流密度 $q=-\kappa u_x$（温度梯度驱动热流从高温流向低温，$\kappa$ 导热系数）。能量守恒给出
$$\rho c_p u_t = -\frac{\partial q}{\partial x}=\kappa u_{xx}\quad\Rightarrow\quad u_t=\alpha u_{xx},\ \alpha=\frac{\kappa}{\rho c_p}.$$
扩散项 $u_{xx}$ 表示"二阶空间变化驱动演化"，与时间一阶导配对，这正是抛物型的标志：信息只向未来单向传播、且不断平滑。
量纲检查
$\alpha=\kappa/(\rho c_p)$ 的量纲：导热系数 $\kappa$ 为 $\mathrm{W/(m\cdot K)}=\mathrm{J/(s\cdot m\cdot K)}$，密度 $\rho$ 为 $\mathrm{kg/m^3}$，比热 $c_p$ 为 $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$，故
$$[\alpha]=\frac{\mathrm{J\,s^{-1}\,m^{-1}\,K^{-1}}}{(\mathrm{kg\,m^{-3}})(\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})} =\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{s}}.$$
所以 $\alpha(n\pi/L)^2 t$ 无量纲，与指数衰减因子一致。
二、有界杆（齐次边界）的傅里叶解
定解问题：
$$\begin{cases}u_t=\alpha u_{xx},&0 用分离变量法（见分离变量法）得 $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,\exp\!\left(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2 t\right),$$ $$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$ 物理意义：每个正弦模态按指数衰减，衰减率 $\alpha(n\pi/L)^2$ 随 $n$ 平方增长——高频（小尺度）起伏最先消失，温度分布越来越"平滑"，最终趋于两端均为 $0$ 的静止态。 对单个模态 $u_n=b_n\sin(n\pi x/L)\,e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}$： 两者恰满足 $u_t=\alpha u_{xx}$，且边界 $u_n(0,t)=u_n(L,t)=0$。关于 $n$ 求和后（级数一致收敛时）仍是解，并由叠加原理落到初值 $\varphi(x)$。逐项验证
三、非齐次边界与非齐次方程
- 非零端温：如 $u(0,t)=0,u(L,t)=T_0$。先取稳态 $v(x)=T_0(1-x/L)$（满足 $v''=0$ 与边界），令 $w=u-v$，则 $w$ 满足齐次边界齐次方程，套用上面的级数解。
- 含热源：$u_t=\alpha u_{xx}+f(x,t)$。用叠加原理：齐次解 + 一个特解；特解也可用特征函数展开（把 $f$ 也展成正弦级数，逐模态求特解）。
稳态解的物理含义
当 $t\to\infty$，所有瞬态模态 $e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}\to 0$，解趋于稳态 $v(x)$。对两端固定温度 $u(0)=a,\ u(L)=b$，稳态是线性分布 $v(x)=a+(b-a)x/L$——这正是"长时间后只剩空间线性温度梯度"的直观结果。
四、最大值原理
热方程满足最大值原理：在任一时刻，区域内部的最高温度不超过初始时刻与边界上的最高温度。直觉上"热量只会从热处流向冷处，不会自发出现更热点"。这保证了抛物型问题的解唯一且稳定（适定性），也是数值求解的理论依据。
最大值原理与唯一性
若两个问题有同样边界与初值，其差 $w=u_1-u_2$ 满足齐次热方程且零初值、零边界。由最大值原理，$w$ 的最大值与最小值均为 $0$，故 $w\equiv 0$，即解唯一。这把"物理直觉"转成了严格的唯一性证明。
五、数值方法（显式差分）
对空间步长 $\Delta x$、时间步长 $\Delta t$，用中心差分离散：
$$\frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{\Delta t}=\alpha\frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{(\Delta x)^2}.$$
解出推进格式
$$u_i^{k+1}=u_i^k+r\big(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k\big),\qquad r=\alpha\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}.$$
稳定性要求 $r\le \tfrac12$（否则误差放大、发散）。这是有限差分法求解抛物型方程的典型例子。
稳定性直观
$r=\alpha\Delta t/(\Delta x)^2$ 是"单位时间步内扩散的距离平方"与网格尺寸平方之比。若时间步太大，一个时间步就"扩散过远"，显式格式会放大数值振荡而发散；$r\le 1/2$ 保证新值 $u_i^{k+1}$ 是邻居值的凸组合（权重非负）。
六、例题与解答
例题1（初值解）. 杆长 $L=\pi$，\(\alpha=1\)，初值 $u(x,0)=\sin x$。求 $u(x,t)$。
特征函数 $\sin(n x)$，这里 $n=1$ 模态直接匹配：$\lambda_1=1$，$b_1=1$，其余 $b_n=0$。故
$$u(x,t)=\sin x\,e^{-t}.$$
验证：$u_t=-e^{-t}\sin x$，$u_{xx}=-e^{-t}\sin x$，相等；边界 $u(0,t)=u(\pi,t)=0$；初值 $u(x,0)=\sin x$。✓
例题2（衰减速率）. 同样杆，初值 $u(x,0)=\sin(3x)$。模态 $n=3$，衰减率 $\lambda_3=9$。解为 $u(x,t)=\sin(3x)e^{-9t}$——比例题 1 衰减快 9 倍，体现"高模态先消失"。
例题3（数值验证）. 取 $\alpha=1,\ \Delta x=0.1,\ \Delta t=0.004$，则 $r=1\times0.004/0.01=0.4<0.5$，满足稳定条件；若误取 $\Delta t=0.006$，则 $r=0.6>0.5$，显式格式将发散。计算中明确要避免后者。
例题4（非零端温）. 杆 $L=1,\ \alpha=1$，边界 $u(0,t)=0,\ u(1,t)=1$，初值 $0$。求长时间渐近。
稳态 $v(x)=1-x$。令 $w=u-v$，则 $w$ 齐次边界、初值 $w(x,0)=-(1-x)$，解为
$$w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x)\,e^{-n^2\pi^2 t},\quad b_n=-2\int_0^1(1-x)\sin(n\pi x)\,dx=-\frac{2}{n\pi}.$$
故 $u(x,t)=1-x-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin(n\pi x)\,e^{-n^2\pi^2 t}$，随时间趋于 $1-x$。
练习
1. 杆 $L=\pi,\ \alpha=2$，初值 $\varphi(x)=\sin(2x)$。写出 $u(x,t)$ 并说明其衰减率。
2. 用最大值原理说明：若边界与初值均 $\le M$，则内部温度恒 $\le M$。
3. 显式差分中，若 $\alpha=0.5,\ \Delta x=0.05$，为保证稳定，时间步长 $\Delta t$ 最大取多少？
4. 杆 $L=1$ 两端 $u(0,t)=0,\ u(1,t)=0$，初值 $\varphi(x)=x$。求 $b_1$（保留积分形式即可）。
参考答案与提示
1. 仅 $n=2$ 模态，$b_2=1$，衰减率 $\alpha(2\pi/L)^2=2\cdot4=8$，故 $u(x,t)=\sin(2x)e^{-8t}$。
2. 设 $U=M$ 为常数，则 $U$ 是热方程解且边界、初值均 $\ge u$。由最大值原理比较，$u\le U=M$ 恒成立。
3. $r=\alpha\Delta t/(\Delta x)^2\le1/2\Rightarrow \Delta t\le (\Delta x)^2/(2\alpha)=0.0025/1=0.0025$。
4. $b_1=2\int_0^1 x\sin(\pi x)\,dx=2\left(\frac{\sin\pi x-\pi x\cos\pi x}{\pi^2}\right)\Big|_0^1=\frac{2}{\pi}$。
本章小结
- 热方程 $u_t=\alpha u_{xx}$ 是抛物型：单向演化、持续平滑、满足最大值原理。
- 有界齐次边界解为正弦模态的指数衰减叠加；系数由初值的傅里叶正弦级数给出。
- 非齐次边界先减稳态解；含源用叠加原理。
- 数值上用显式差分，注意稳定性条件 $r=\alpha\Delta t/(\Delta x)^2\le 1/2$。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
一维热传导 u_t=α u_xx：两端固定 u=0。高模态先衰减→曲线变光滑。