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§1

拉普拉斯方程（Laplace equation）是最典型的椭圆型 PDE，描述已达到平衡的稳态场。二维形式

$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0,$$

其非齐次推广 $u_{xx}+u_{yy}=f$ 称为泊松方程（Poisson equation）。$\Delta$ 为拉普拉斯算子。

一、物理意义：稳态场

• 静电场：无电荷区域电势 $V$ 满足 $\nabla^2 V=0$；若有电荷密度 $\rho$，则 $\nabla^2 V=-\rho/\varepsilon_0$（泊松）。
• 稳态温度场：热已达平衡、无内热源时温度分布满足 $\Delta u=0$。
• 不可压缩无旋流：速度势满足拉普拉斯方程。

椭圆型没有时间维：它只描述"在区域内处处平衡"，因此只需要边界条件来定解，不需要初值——这是与热/波方程的根本区别。

二、调和函数与极值原理

满足 $\Delta u=0$ 的函数称为调和函数。它有极强的正则性：无限可微、且由边界值唯一确定。

极值原理：在连通区域内非常数的调和函数，其最大值与最小值都只能在边界上取到，绝不会在内部出现。直觉："没有热源也没有冷源，内部温度不可能比边界更极端"。由此立得 Dirichlet 问题的唯一性：若两个调和函数在边界上取值相同，则内部处处相同。

平均值性质：调和函数在任一点的值，等于以该点为中心的小圆（球）边界上的平均值。它是极值原理与数值松弛法的几何来源。

平均值性质的表述

若 $u$ 在圆盘 $B_r(x_0,y_0)$ 内调和，则

$$u(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta.$$

即在圆周上的平均等于圆心值。该性质可由格林公式（或极坐标下分离变量）推出，也是后面泊松积分公式的出发点。

三、边值问题

• Dirichlet 问题：给定边界函数值 $u|_{\partial\Omega}=g$，求内部调和函数。
• Neumann 问题：给定边界法向导数值 $\partial u/\partial n|_{\partial\Omega}=h$（相容条件 $\int_{\partial\Omega}h\,ds=0$）。
• Robin 问题：混合 $a u+b\,u_n=c$（如对流换热边界）。

对矩形/圆等规则区域，可用分离变量法求解；对一般区域，则依赖数值方法。

三类边值问题对比

四、圆域的泊松积分公式

对单位圆内 Dirichlet 问题 $u_{xx}+u_{yy}=0$、$u(1,\theta)=f(\theta)$，解为

$$u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2}\,f(\phi)\,d\phi,\qquad 0\le r<1.$$

核

$$P(r,\theta-\phi)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2}$$

称为泊松核。它把边界值 $f$ "光滑地"平均到圆内每一点：当 $r\to1$ 时 $P$ 趋近于 $\theta=\phi$ 处的 $\delta$ 函数，故边界条件成立。

泊松积分公式的来源（极坐标分离变量）

在极坐标 $(r,\theta)$ 下，$\Delta u=u_{rr}+r^{-1}u_r+r^{-2}u_{\theta\theta}=0$。设 $u=R(r)\Theta(\theta)$，代入得

$$r^2\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda.$$

空间部分 $\Theta''+\lambda\Theta=0$ 加周期性 $\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta)$ 给出 $\lambda=n^2,\ \Theta_n=\cos n\theta,\sin n\theta$。径向方程 $r^2R''+rR'-n^2R=0$ 为欧拉方程，解为 $R_n=r^n$（舍去无界项 $r^{-n}$）。故

$$u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^n\big(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\big),$$

系数由边界 $f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)$ 给出。把傅里叶级数写成积分并合并级数，即得上面的泊松核形式。

五、数值方法： Jacobi 松弛（迭代求稳态）

把区域离散成网格，内部点用五点差分近似拉普拉斯算子：

$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2}=0.$$

令 $\Delta x=\Delta y$，得离散调和关系：每个内点的值等于四邻平均值：

$$u_{i,j}=\frac{u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1}}{4}.$$

Jacobi 迭代：从某个初猜出发，反复用上式更新所有内点（边界保持给定值），迭代多次便收敛到稳态解。这本质上是"让每个点不断取邻居平均，直到不再变化"——正是极值原理的数值体现。为加速可用 Gauss–Seidel（用已更新的邻居）或 SOR 迭代。

六、例题与解答

例题1（矩形稳态温度）. 单位正方形，上边界恒温 $1$，其余三边恒温 $0$。求稳态温度分布的大致特征。

由唯一性与极值原理，内部温度严格介于 $0$ 与 $1$ 之间；上边附近接近 $1$、下边附近接近 $0$，左右边从 $1$ 平滑过渡。用分离变量可得级数解（正弦×双曲正弦），数值上用 Jacobi 松弛迭代即可（见页面底部画板）。

例题2（验证调和）. 验证 $u(x,y)=x^2-y^2$ 是调和函数。

$u_{xx}=2,\ u_{yy}=-2$，故 $\Delta u=2+(-2)=0$。它确实满足拉普拉斯方程（对应一个"角点状"静电势，电场 $\mathbf{E}=-\nabla u=(-2x,\,2y)$）。

例题3（平均值性质）. 对 $u(x,y)=x^2-y^2$，验证圆心 $(0,0)$ 处平均值性质（取半径 $r=1$）。

圆周上 $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$，则 $u=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta$。平均值

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos 2\theta\,d\theta=0=u(0,0).$$

与平均值性质一致。✓

例题4（泊松圆域）. 单位圆边界 $f(\theta)=\cos\theta$。求圆内解。

由泊松公式或级数解（只含 $n=1$ 模态）：猜测 $u(r,\theta)=A r\cos\theta$。代入拉普拉斯方程：$\Delta(r\cos\theta)=0$ 成立；边界 $r=1$ 时 $u=\cos\theta=f(\theta)$。故

$$u(r,\theta)=r\cos\theta=x.$$

即圆内解为线性函数 $u=x$，边界恰为其限定值。

练习

1. 验证 $u(x,y)=e^x\cos y$ 是调和函数。

2. 用极值原理说明：若圆盘边界上 $|u|\le M$，则圆盘内部 $|u|\le M$。

3. 单位圆边界 $f(\theta)=\sin\theta$，直接写出圆内调和解（仿例题 4）。

4. Jacobi 松弛中，若某内点四邻值为 $0.2,0.4,0.6,0.8$，一次迭代后该点值是多少？

本章小结

• 拉普拉斯方程 $\Delta u=0$（泊松方程 $\Delta u=f$）是椭圆型：描述稳态场，只需边界条件、不需初值。
• 调和函数满足极值原理与平均值性质，由此保证 Dirichlet 问题唯一。
• 圆域 Dirichlet 问题有显式泊松积分公式，核为 $P(r,\theta-\phi)=\dfrac{1-r^2}{2\pi(1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2)}$。
• 数值上用五点差分 + Jacobi/Gauss–Seidel 松弛：内点取四邻平均直到收敛。
• 与热/波对比：椭圆型无时间维、各向同性、代表"已经平衡"。

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