常微分方程 · AI-Math

本章目标

理解微分方程的阶、线性/非线性、初值问题的概念。
掌握一阶方程的四种主要解法：可分离变量、齐次、一阶线性（积分因子）、全微分。
会用降阶法处理三类可降阶的高阶方程。
熟练运用特征方程法求二阶线性常系数齐次方程的通解（实根/重根/复根三种情形）。
理解非齐次方程特解的求法与叠加原理。
了解常系数线性方程组与相图、以及拉普拉斯变换法解初值问题。

微分方程用"变化率"描述世界：从牛顿力学、电路到人口模型，几乎所有动力学规律最终都写成"未知函数及其导数之间的关系"。

一、微分方程基本概念

定义. 含未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。若未知函数是单变量（如 $y(x)$）则称为常微分方程（ODE）。

阶：未知函数出现的最高阶导数的阶数。如 $y''+y=0$ 是二阶方程。
线性 / 非线性：方程关于 $y$ 及其各阶导数是否为一次且系数只依赖自变量。一阶线性标准形式 $$y' + P(x)y = Q(x)$$ 其中 $P,Q$ 仅为 $x$ 的函数；含 $y^2$、$(y')^2$、$\sin y$ 等的均为非线性。
初值问题（IVP）：方程外加初值条件，如 $y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1$。满足初值的特解唯一确定。
通解与特解：$n$ 阶方程的通解含 $n$ 个独立任意常数；给定初值后得到特解。

范德波尔方程（非线性示例） $$y'' - \mu(1-y^2)y' + y = 0$$

二、一阶方程解法

1. 可分离变量. 形如 $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，分离后两边积分：

分离变量 $$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C$$

2. 齐次方程. 形如 $\dfrac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$。令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux,\ \dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$，化为可分离方程。

3. 一阶线性方程与积分因子. 对 $y'+P(x)y=Q(x)$，引入积分因子

积分因子 $$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$$

方程两边乘 $\mu$ 后左端恰为 $(\mu y)'$，积分得

通解 $$y = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right)$$

4. 全微分方程. 形为 $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$，若 $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$（恰当条件），则存在势函数 $u(x,y)$ 使 $du = M\,dx+N\,dy$，解为 $u(x,y)=C$。

当不恰当时可寻找积分因子 $\mu(x,y)$ 使 $\mu M\,dx+\mu N\,dy$ 变为恰当。

三、可降阶的高阶方程

下列三类高价方程可通过变量代换降阶为一阶方程：

(1) 右端只含 $x$：$y^{(n)} = f(x)$。连续积分 $n$ 次即可，每次引入一个常数。
(2) 不显含 $y$：$y'' = f(x, y')$。令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，得 $p' = f(x,p)$（一阶）。求得 $p$ 后由 $y' = p$ 再积分。
(3) 不显含 $x$：$y'' = f(y, y')$。令 $p = y'$，利用链式法则 $y'' = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx} = p\,\dfrac{dp}{dy}$，化为 $p\,\dfrac{dp}{dy} = f(y,p)$（以 $y$ 为自变量的一阶方程）。

情形 (3) 的降阶公式 $$y'' = p\,\frac{dp}{dy},\qquad p = \frac{dy}{dx}$$

四、二阶线性常系数齐次方程

考虑 $y'' + p\,y' + q\,y = 0$（$p,q$ 为常数）。设解为 $y = e^{rx}$，代入得特征方程

特征方程 $$r^2 + pr + q = 0$$

依判别式 $\Delta = p^2 - 4q$ 分三种情形：

① 两不等实根 $r_1 \neq r_2$：通解 $$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$
② 重根 $r_1 = r_2 = r$：通解 $$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$$
③ 共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$：通解（欧拉公式） $$y = e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\big)$$

复根情形由 $e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)$ 经取实部、虚部并线性组合得到，是振动与衰减振荡的数学来源。

五、二阶常系数非齐次方程

考虑 $y'' + p\,y' + q\,y = f(x)$（非齐次）。其通解 = 对应齐次方程通解 $y_h$ + 一个特解 $y^*$ ：

结构定理 $$y = y_h + y^*$$

叠劢原理. 若 $L[y] = y''+py'+qy$，则 $L$ 是线性算子，满足

叠加原理 $$L[y_1+y_2] = L[y_1] + L[y_2],\qquad L[cy] = c\,L[y]$$

因而当 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$，可分别求 $y_1^*$、$y_2^*$ 再相加得总特解。

特解求法（待定系数法）. 当 $f(x)$ 为多项式、指数函数、正弦/余弦及其乘积时，按 $f(x)$ 的形式"猜"特解形式并代入方程定系数；若猜的形式与齐次解重合，则乘以 $x$（或 $x^2$）直至线性无关。

常见特解形式 $$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\ \Rightarrow\ y^* = x^k e^{\lambda x}Q_m(x),\quad k=\text{特征根 }\lambda\text{ 的重数}$$

六、常系数线性方程组与相图

一阶常系数线性系统写成矩阵形式

线性系统 $$\mathbf{X}' = A\mathbf{X},\qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$$

设 $\mathbf{X}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$，代入得特征问题 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_{1,2}$ 决定平衡点 $\mathbf{X}=0$ 的类型：

两实同号特征值 $\Rightarrow$ 结点（稳定/不稳定）；
两实异号特征值 $\Rightarrow$ 鞍点（不稳定）；
共轭复特征值 $\Rightarrow$ 焦点（螺旋）或中心（纯虚数，周期振荡）。

在 $(x,y)$ 平面上绘出轨线即得相图，直观展示系统随时间的演化趋势与长期行为。

相图把"解曲线 $x(t),y(t)$"投影到状态空间，忽略时间只看轨迹形状，是动力系统分析的核心工具。

七、拉普拉斯变换法解初值问题

拉普拉斯变换将微分方程化为代数方程，特别适合带初值的线性常系数问题：

拉普拉斯变换 $$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt$$

利用导数的变换公式，初值自动进入代数方程：

导数变换 $$\mathcal{L}\{f'\}(s) = sF(s) - f(0)$$ $$\mathcal{L}\{f''\}(s) = s^2F(s) - s\,f(0) - f'(0)$$

常用变换表 $$\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s},\quad \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a},\quad \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}},\quad \mathcal{L}\{\sin at\} = \frac{a}{s^2+a^2},\quad \mathcal{L}\{\cos at\} = \frac{s}{s^2+a^2}$$

解题步骤：对方程两端取变换 $\rightarrow$ 解代数方程得 $Y(s)$ $\rightarrow$ 反变换 $\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$ 得 $y(t)$。

八、动态示意：方向场

下方画板展示一阶方程 $\dfrac{dy}{dx} = y - x$ 的方向场（由小箭头表示，每点箭头斜率即该处导数）。沿箭头方向运动的亮点追踪出一条条积分曲线（即方程的解曲线）。不同初值对应不同的积分曲线，它们都不穿过彼此——这正体现了解的局部唯一性。

提示：点击"重置"可重新随机生成一批追踪点，观察它们如何沿着斜率场各自的积分曲线流动。

例题与解答

例题1（可分离变量）

求解初值问题 $\dfrac{dy}{dx} = x y,\ y(0)=2$。

解：分离变量得 $$\frac{dy}{y} = x\,dx \quad (y\neq 0).$$ 两边积分： $$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1 \ \Rightarrow\ y = C e^{x^2/2}.$$ 代入 $y(0)=2$ 得 $C=2$，故特解为 $$y = 2e^{x^2/2}.$$

例题2（一阶线性方程·积分因子）

求方程 $y' + 2y = e^{-x}$ 的通解。

解：此处 $P(x)=2,\ Q(x)=e^{-x}$，积分因子 $$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.$$ 方程两边乘 $\mu$： $$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{x} \ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = e^x.$$ 积分得 $e^{2x}y = e^x + C$，故通解 $$y = e^{-x} + C e^{-2x}.$$

例题3（二阶常系数齐次）

求 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的通解。

解：特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，即 $(r-1)(r-2)=0$，得两不等实根 $r_1=1,\ r_2=2$。由情形①，通解为 $$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.$$

例题4（拉普拉斯变换解初值问题）

用拉普拉斯变换求解 $y'' - y = 0,\ y(0)=0,\ y'(0)=1$。

解：令 $Y(s)=\mathcal{L}\{y\}$，取变换得 $$s^2Y - s y(0) - y'(0) - Y = 0 \ \Rightarrow\ (s^2-1)Y = 1.$$ 故 $Y(s)=\dfrac{1}{s^2-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s+1}\right)$。反变换得 $$y(t)=\frac{1}{2}\big(e^{t}-e^{-t}\big)=\sinh t.$$

本章小结

微分方程的阶由最高阶导数决定；关于未知函数及其导数为一次则线性。
一阶方程四类解法：可分离变量、齐次（令 $u=y/x$）、一阶线性（积分因子 $\mu=e^{\int Pdx}$）、全微分（$\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$）。
可降阶三类：$y^{(n)}=f(x)$、缺 $y$ 令 $p=y'$、缺 $x$ 令 $p=y'$ 且 $y''=p\,dp/dy$。
二阶常系数齐次用特征方程：实根、重根、复根三种通解形式。
非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 特解；线性算子满足叠加原理。
线性方程组 $\mathbf{X}'=A\mathbf{X}$ 的相图由特征值决定平衡点类型。
拉普拉斯变换把求导初值化入代数方程：$\mathcal{L}\{f'\}=sF-f(0)$，配合反变换求解极其高效。

从斜率场到相图，微分方程的本质是"用局部变化率预测全局演化"——这正是建模自然与社会动力系统的通用语言。