§1
二阶方程含二阶导数，是振动、波动、电路等物理系统的核心数学模型。线性二阶方程结构清晰、解法系统，是进入"数学物理方法"的门槛。
本章目标
- 掌握二阶线性常系数齐次方程的特征方程法（实根/重根/复根三种情形）。
- 理解非齐次方程通解 = 齐次通解 + 特解与叠加原理。
- 会用待定系数法和常数变易法求特解。
- 通过阻尼振子理解欠阻尼/临界阻尼/过阻尼三种行为。
一、齐次方程与特征方程
考虑
$$y''+p\,y'+q\,y=0\qquad(p,q\text{ 为常数}).$$
设解为 $y=e^{rx}$，代入得特征方程
$$r^2+pr+q=0.$$
依判别式 $\Delta=p^2-4q$ 分三种情形：
- ① 两不等实根 $r_1\neq r_2$：
$$y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.$$
- ② 重根 $r_1=r_2=r$：
$$y=(C_1+C_2 x)e^{rx}.$$
- ③ 共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$：
$$y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\big).$$
> 复根情形由欧拉公式 $e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)$ 取实部、虚部线性组合得到，是衰减振荡的数学来源。
二、非齐次方程与叠加原理
考虑
$$y''+p\,y'+q\,y=f(x)\qquad(\text{非齐次}).$$
其通解 = 对应齐次方程通解 $y_h$ + 一个特解 $y_p$（即 $y=y_h+y_p$）：
$$y=y_h+y_p.$$
记线性算子 $L[y]=y''+py'+qy$，则 $L$ 满足
$$L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2],\qquad L[cy]=c\,L[y].$$
故当 $f=f_1+f_2$ 时，可分别求两部分特解再相加得总特解——这就是叠加原理。
三、待定系数法
当 $f(x)$ 为多项式、指数、正弦/余弦及其乘积时，按 $f(x)$ 的形式"猜"特解并代入方程定系数：
$$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\ \Rightarrow\ y_p=x^k e^{\lambda x}Q_m(x),$$
其中 $k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数（非根则 $k=0$；重根则 $k=1$ 或 $2$），$Q_m$ 为与 $P_m$ 同次的待定多项式。
例. $y''-3y'+2y=e^{2x}$。齐次特征根 $r=1,2$。因 $\lambda=2$ 是单根，$k=1$，设 $y_p=A x e^{2x}$。代入可得 $A=1$，故
$$y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}+x e^{2x}.$$
四、常数变易法
当 $f(x)$ 较一般（待定系数失效）时，设
$$y_p=u_1(x)y_1+u_2(x)y_2,$$
其中 $y_1,y_2$ 是齐次方程两个线性无关解。令约束 $u_1'y_1+u_2'y_2=0$，再联立 $u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x)$ 解出 $u_1',u_2'$ 并积分。这是求特解的"通用公式"，也是推导格林函数的基础。
五、应用：振动与阻尼
弹簧-质量系统（带阻尼）满足
$$m y''+c y'+k y=0\quad\Longleftrightarrow\quad y''+2\zeta\omega_0 y'+\omega_0^2 y=0,$$
其中 $\omega_0=\sqrt{k/m}$ 为固有频率，$\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$ 为阻尼比。依 $\zeta$ 分三种行为：
- $\zeta<1$ 欠阻尼：衰减振荡；
- $\zeta=1$ 临界阻尼：最快回归平衡且不振荡；
- $\zeta>1$ 过阻尼：缓慢回归、不振荡。
下方画板可拖动阻尼比 $\zeta$ 与固有频率 $\omega_0$，观察解曲线从"振"到"不振"的转变。
六、例题与解答
例题1（齐次·三种情形）
求 $y''-3y'+2y=0$ 的通解。
解： 特征方程 $r^2-3r+2=0\Rightarrow (r-1)(r-2)=0$，两不等实根 $r_1=1,r_2=2$。通解
$$y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}.$$
例题2（齐次·复根）
求 $y''+4y=0$ 的通解。
解： 特征方程 $r^2+4=0\Rightarrow r=\pm 2i$（$\alpha=0,\beta=2$）。通解
$$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x.$$
例题3（非齐次·待定系数）
求 $y''+y=x$ 的一个特解与通解。
解： 齐次特征根 $r=\pm i$，齐次通解 $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$。$f(x)=x$ 为一次多项式，$\lambda=0$ 非特征根，设 $y_p=Ax+B$。代入：$0+Ax+B=x\Rightarrow A=1,B=0$。故特解 $y_p=x$，通解
$$y=C_1\cos x+C_2\sin x+x.$$
七、本章小结
- 二阶常系数齐次用特征方程 $r^2+pr+q=0$：实根、重根、复根三种通解形式。
- 非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 特解；线性算子满足叠加原理。
- 待定系数法对多项式/指数/三角右端高效；猜解形式重合时乘 $x^k$（$k$ 为根的重数）。
- 常数变易法是求特解的通用方法。
- 阻尼振子 $y''+2\zeta\omega_0 y'+\omega_0^2 y=0$：$\zeta<1$ 欠阻尼（振荡），$\zeta=1$ 临界，$\zeta>1$ 过阻尼。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
阻尼振子 y''+2ζω₀y'+ω₀²y=0：拖动 ζ 观察欠阻尼↔过阻尼的转变。