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§1

一阶微分方程只含未知函数的一阶导数，是微分方程中最基础、应用最广的一类。绝大多数物理、化学、生物中的"变化率"问题最终都化归为一阶方程。

本章目标

• 掌握可分离变量方程的直接积分法。
• 会用变量代换 $u=y/x$ 求解齐次方程。
• 熟练使用积分因子法求解一阶线性方程 $y'+P(x)y=Q(x)$。
• 理解全微分方程与势函数，会判断恰当性并求势函数。
• 了解欧拉法等数值解法（当解析解难以求得时）。

一、可分离变量方程

形如

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)$$

的方程称为可分离变量方程。将含 $y$ 的部分移到左侧、含 $x$ 的部分移到右侧：

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx+C.$$

> 注意 $g(y)=0$ 的根也是常数解，需单独列出。

例. 求解 $y' = x\,y$。

分离得 $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$，积分 $\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+C_1$，故通解 $y=C e^{x^2/2}$（含常数解 $y=0$）。

二、齐次方程

若右端可写成 $\dfrac{y}{x}$ 的函数：

$$\frac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right),$$

令 $u=\dfrac{y}{x}$（即 $y=ux$），则 $\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$，代入得

$$u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x},$$

化为可分离变量方程。

三、一阶线性方程与积分因子

标准形式：

$$y'+P(x)\,y=Q(x),$$

其中 $P,Q$ 仅为 $x$ 的函数。引入积分因子

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$

方程两边乘 $\mu$ 后左端恰好是乘积的导数：

$$\mu(x)y'+\mu(x)P(x)y=\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)Q(x).$$

积分得

$$y=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)Q(x)\,dx+C\right).$$

> 积分因子法是一阶线性方程的"万能钥匙"：它把"求导后再解代数"变成"乘一个因子凑全微分"。

例. $y'+2y=e^{-x}$ 的通解。

$P=2$，$\mu=e^{2x}$。乘 $\mu$：$e^{2x}y'+2e^{2x}y=e^{x}\Rightarrow \dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)=e^x$。积分得 $e^{2x}y=e^x+C$，故

$$y=e^{-x}+Ce^{-2x}.$$

四、全微分方程

形如

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,$$

若满足恰当条件

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},$$

则存在势函数 $u(x,y)$ 使 $du=M\,dx+N\,dy$，解为 $u(x,y)=C$。

当不恰当时，可寻找积分因子 $\mu(x,y)$ 使 $\mu M\,dx+\mu N\,dy$ 变为恰当。常见特例：仅依赖 $x$ 的积分因子 $\mu(x)=e^{\int \frac{1}{M}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dx}$。

五、数值解：欧拉法

当方程无初等解析解（或解析解过于复杂）时，用欧拉法沿斜率逐步推进：

$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),$$

其中 $h$ 为步长。步长越小越精确，但累积误差也随之增长。它是所有现代常微分方程数值方法（龙格-库塔等）的思想起点。

六、例题与解答

例题1（可分离变量 + 初值）

求解 $\dfrac{dy}{dx}=x\,y,\ y(0)=2$。

解： 分离变量 $\dfrac{dy}{y}=x\,dx\ (y\neq0)$，积分得 $\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+C_1\Rightarrow y=C e^{x^2/2}$。代入 $y(0)=2$ 得 $C=2$，故

$$y=2e^{x^2/2}.$$

例题2（一阶线性·积分因子）

求 $y'-y\tan x=\sin x$ 的通解。

解： 标准形式 $y'+P y=Q$，$P=-\tan x$，$Q=\sin x$。积分因子

$$\mu=e^{\int -\tan x\,dx}=e^{\ln|\cos x|}=\cos x.$$

乘 $\mu$：$\cos x\,y'-\sin x\,y=\sin x\cos x\Rightarrow \dfrac{d}{dx}(y\cos x)=\sin x\cos x$。积分：

$$y\cos x=\int\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{2}\sin^2 x+C,$$

故通解 $y=\dfrac{\sin^2 x+2C}{2\cos x}$。

例题3（全微分）

判断 $(2x+y)\,dx+(x+3y^2)\,dy=0$ 是否全微分，并求解。

解： $M=2x+y$，$N=x+3y^2$。$\dfrac{\partial M}{\partial y}=1=\dfrac{\partial N}{\partial x}$，恰当。势函数

$$u=\int (2x+y)\,dx=x^2+xy+\phi(y),$$

对 $y$ 求偏导：$x+\phi'(y)=x+3y^2\Rightarrow \phi'(y)=3y^2\Rightarrow \phi(y)=y^3$。故解

$$x^2+xy+y^3=C.$$

七、本章小结

• 可分离变量：$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$，两边积分；勿漏 $g(y)=0$ 的常数解。
• 齐次方程：令 $u=y/x$ 化为可分离。
• 一阶线性 $y'+Py=Q$：积分因子 $\mu=e^{\int Pdx}$，解 $y=\dfrac{1}{\mu}\left(\int\mu Q\,dx+C\right)$。
• 全微分：恰当条件 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$，解即势函数 $u=C$。
• 数值解（欧拉法）$y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n)$ 是微分方程数值计算的基础。

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