§1
复变函数把实微积分推广到复平面：解析函数既"可微"又保持角度（保角），由此诞生了流体、电磁与机翼理论的强大工具。本模块依次讲解解析性、柯西积分、留数与积分变换。
本章目标
- 掌握复数的表示与运算，特别是极坐标 $z=re^{i\theta}$ 与欧拉公式。
- 会用柯西-黎曼（C-R）方程判断函数是否解析，并求导。
- 理解柯西积分定理与柯西积分公式，掌握复积分计算。
- 会用留数定理计算实积分，并理解傅里叶/拉普拉斯变换。
本模块子章节
- 解析函数与柯西-黎曼方程：映射、解析性、C-R 方程、保角性。
- 柯西积分定理与公式：复积分、柯西定理、柯西积分公式与高阶导数。
- 留数定理与实积分计算：孤立奇点、留数、留数定理与实积分计算。
- 傅里叶变换与拉普拉斯变换：频域视角与用拉普拉斯变换解微分方程。
本章小结
- 复数 $z=x+iy=re^{i\theta}$，欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$；极坐标下乘除即模相乘、辐角相加。
- 解析 $\iff$ C-R 方程 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y,\ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$ 且偏导连续；此时 $f'(z)=\partial u/\partial x+i\,\partial v/\partial x$。
- 柯西积分定理：单连通域内解析 $\Rightarrow\oint_C f(z)dz=0$；柯西积分公式由边界值决定内部。
- 留数定理：$\oint_C f dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$，用以计算实积分。
- 傅里叶变换看"频谱"，拉普拉斯变换看"复频域"，皆把微分运算化为代数运算。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。