复变函数 · AI-Math

本章目标

掌握复数的表示与运算，特别是极坐标 $z=re^{i\theta}$ 与欧拉公式。
理解复变函数作为"映射"的几何意义。
会用柯西-黎曼（C-R）方程判断函数是否解析，并求导。
理解柯西积分定理与柯西积分公式，掌握复积分计算。
了解泰勒级数、洛朗级数展开与留数定理。
会用留数定理计算实积分，并理解保形映射（以 $w=z^2$ 为例）。

复变函数把实微积分推广到复平面：解析函数既"可微"又保持角度（保角），由此诞生了流体、电磁与机翼理论的强大工具。

一、复数与复平面

复数 $z = x + iy$，其中 $i^2 = -1$，$x=\operatorname{Re}z$ 为实部，$y=\operatorname{Im}z$ 为虚部。全体复数构成复平面（横轴实、纵轴虚）。

共轭：$\bar z = x - iy$；模：$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$；满足 $z\bar z = |z|^2$。
极坐标（三角/指数形式）：令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta},\quad r=|z|,\ \theta=\arg z.$$
欧拉公式： $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

复数运算（极坐标） $$z_1z_2 = r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)},\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)},\qquad z^n = r^n e^{in\theta}$$

棣莫弗公式：$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$，直接由 $(e^{i\theta})^n$ 得到。

二、复变函数与映射

若对每个 $z\in D\subset\mathbb{C}$ 按法则 $f$ 对应唯一的 $w\in\mathbb{C}$，则 $w=f(z)$ 为复变函数。把它看作映射：复平面（定义域）的每点被送到 $w$ 平面（值域）的一点。几何上常用"网格如何变形"来直观理解映射。

设 $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$，则 $w=f(z)$ 同时确定了两个实二元函数的变换 $$(x,y)\ \longmapsto\ (u(x,y),\,v(x,y)).$$

例：$w = z^2$ $$w = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + i(2xy)\ \Rightarrow\ u=x^2-y^2,\ v=2xy$$

三、解析函数与柯西-黎曼方程

若 $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ 在区域 $D$ 内处处可导（极限与逼近方向无关），则称 $f$ 在 $D$ 内解析（全纯）。解析的充要条件是实部、虚部满足柯西-黎曼方程（C-R 方程）：

柯西-黎曼方程 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

且四个一阶偏导连续。此时导数可统一写成

导数公式 $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\,\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\,\frac{\partial u}{\partial y}$$

C-R 方程正是"沿实轴与沿虚轴逼近得到同一导数"的代数表达；它也是解析函数保角性的根源。

四、复积分与柯西积分定理

沿曲线 $C$ 的复积分为 $\displaystyle\int_C f(z)\,dz = \int_C (u\,dx - v\,dy) + i\int_C (v\,dx + u\,dy)$。

柯西积分定理. 若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则沿 $D$ 内任意闭曲线 $C$ 的积分

柯西积分定理 $$\oint_C f(z)\,dz = 0$$

由此推出：在单连通解析域内，复积分只与端点有关，与路径无关（类比实函数的保守场）。

若存在奇点，积分一般不为零——这正引出下文的柯西积分公式与留数定理。

五、柯西积分公式

若 $f$ 在闭曲线 $C$ 及其内部解析，$a$ 在 $C$ 内部，则 $f$ 在 $a$ 的值可由边界上的积分完全确定：

柯西积分公式 $$f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz$$

其推论——导数公式：

高阶导 $$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$$

柯西积分公式说明：解析函数在边界上的值决定其内部一切点的值与任意阶导数——解析函数具有惊人的"刚性"。

六、泰勒级数与洛朗级数

泰勒级数. 若 $f$ 在 $a$ 解析，则在 $a$ 的某邻域内可展开为幂级数

泰勒展开 $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n$$

洛朗级数. 若在环域 $r \lt |z-a| \lt R$ 内解析，则可含负幂项：

洛朗展开 $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n,\qquad c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$$

负幂项系数中 $c_{-1}$ 正是 $z=a$ 处的留数 $\operatorname{Res}(f,a)$，是留数定理的关键。

七、留数定理与积分计算

留数定理. 若 $f$ 在闭曲线 $C$ 内除有限个孤立奇点 $a_1,\dots,a_m$ 外解析，则

留数定理 $$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(f,a_k)$$

留数求法. 在一阶极点 $a$ 处：

一阶极点留数 $$\operatorname{Res}(f,a) = \lim_{z\to a}(z-a)f(z)$$

留数定理的威力在于把某些难以直接计算的实定积分（如 $\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^2}$、含三角函数的积分）转化为复平面上围道积分的留数求和。

典型策略：取上半平面大半圆围道，圆弧上的积分随半径趋于无穷而消失，仅内部奇点的留数贡献最终结果。

八、保形映射（w = z²）

解析函数（导数非零处）实现保形映射：保持曲线间的夹角大小与定向。以 $w=z^2$ 为例，设 $z=re^{i\theta}$，则

平方映射 $$w = z^2 = r^2 e^{i\,2\theta}$$

可见模平方、辐角加倍。几何效应：

$z$ 平面上的径向直线（固定 $\theta$）映为 $w$ 平面固定 $2\theta$ 的射线；
同心圆（固定 $r$）映为半径 $r^2$ 的同心圆；
原本正交的网格在 $w$ 平面仍正交（保角），但方格被"弯曲"、上半平面的角域 $0\lt\arg z\lt\pi$ 被铺满整个 $w$ 平面。

保形映射在流体力学与静电学中极有用：把复杂边界变换为简单边界（如圆、半平面）后再求解。

九、动态示意：复平面映射

下方画板左为 z 平面、右为 w 平面。同一组方格在映射 $w=z^2$ 下被变换：你会看到 $z$ 平面的直线网格在 $w$ 平面弯成曲线，且角度被加倍（例如 $45^\circ$ 的射线变成 $90^\circ$）。这正是保形映射"保角但弯网格"的直观体现。

提示：注意 $w$ 平面的网格仍处处正交——保角性意味着局部形状只是旋转加缩放，并不扭曲角度。

例题与解答

例题1（C-R 方程验证解析性）

验证 $f(z)=z^2$ 在全平面解析，并求其导数。

解：设 $z=x+iy$，则 $$f(z)=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i(2xy),$$ 故 $u=x^2-y^2,\ v=2xy$。计算偏导： $$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=2y.$$ 满足 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ 与 $\partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$ 处处成立，且偏导连续，故 $f$ 在全平面解析。由导数公式 $$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=2x+i(2y)=2(x+iy)=2z.$$

例题2（留数定理计算实积分）

用留数定理计算 $\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}$。

解：考虑复函数 $f(z)=\dfrac{1}{1+z^2}=\dfrac{1}{(z-i)(z+i)}$。取上半平面的大半圆围道，内部唯一奇点为 $z=i$（一阶极点）。其留数 $$\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}=\frac{1}{2i}.$$ 由留数定理，沿围道积分 $=2\pi i\cdot \dfrac{1}{2i}=\pi$。当半径 $R\to\infty$ 时，半圆弧上的积分趋于 $0$，故 $$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi.$$ （由偶性亦得 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$。）

例题3（求留数）

求 $g(z)=\dfrac{e^z}{z-1}$ 在 $z=1$ 处的留数。

解：$z=1$ 为一阶极点，留数为 $$\operatorname{Res}(g,1)=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{e^z}{z-1}=e^1=e.$$

本章小结

复数 $z=x+iy=re^{i\theta}$，欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$；极坐标下乘除即模相乘、辐角相加。
复变函数 $w=f(z)$ 是复平面到 $w$ 平面的映射，几何上理解"网格如何变形"。
解析 $\iff$ C-R 方程 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y,\ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$ 且偏导连续；此时 $f'(z)=\partial u/\partial x+i\,\partial v/\partial x$。
柯西积分定理：单连通域内解析 $\Rightarrow\oint_C f(z)dz=0$。
柯西积分公式：$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-a}dz$，解析函数由边界值唯一决定。
泰勒级数（无负幂）/洛朗级数（含负幂）；留数 $\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}$。
留数定理：$\oint_C f dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$，用以计算实积分；一阶极点留数为 $\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$。
保形映射（如 $w=z^2$）保角：模平方、辐角加倍，网格弯而角度不变。

复变函数把"可微"升级为"解析"：一旦可导便无限次可导、可展成幂级数、由边界决定一切——这种刚性与保角性，正是它广泛应用于物理与工程的理由。