§1
复变函数把微积分推广到复平面。最关键的"解析性"概念比实函数的"可导"更强：它不仅要求可导，还蕴含无限次可导、可展成幂级数、由边界决定内部等惊人性质。
本章目标
- 理解复变函数作为"映射"的几何意义。
- 掌握柯西-黎曼方程（C-R），会用它判断函数是否解析并求导。
- 理解解析函数的保角性（保角映射的几何根源）。
一、复变函数与映射
设 $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$，其中 $z=x+iy$。复变函数 $w=f(z)$ 可看作复平面到 $w$ 平面的映射：每点 $(x,y)$ 被送到 $(u(x,y),v(x,y))$。几何上常用"方格如何变形"来直观理解。
例. $w=z^2$：$(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$，故 $u=x^2-y^2,\ v=2xy$。
例. $w=e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$，故 $u=e^x\cos y,\ v=e^x\sin y$。该映射把竖直线 $x=c$ 映为以原点为圆心的圆，把水平线 $y=c$ 映为从原点出发的射线。
二、解析性的定义
若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导（导数极限与逼近方向无关），则称 $f$ 在 $D$ 内解析（又称全纯）。
可导的极限定义：
$$f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},$$
要求不论 $z$ 沿哪个方向逼近 $z_0$，极限都相同。这一"方向无关性"正是实函数所没有的强约束。
三、柯西-黎曼方程（C-R）
$f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ 在 $D$ 内解析的充要条件是实部、虚部满足
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},$$
且四个一阶偏导连续。
> C-R 方程正是"沿实轴与沿虚轴逼近得到同一导数"的代数表达。
C-R 方程的来源（推导）
要 $f'(z_0)$ 与逼近方向无关，分别沿两条特殊路径取极限：
- 沿实轴方向逼近 $\Delta z=\Delta x\to0$：
$$f'(z_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.$$
- 沿虚轴方向逼近 $\Delta z=i\Delta y\to0$：
$$f'(z_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{i\Delta y}+i\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{i\Delta y}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$$
两式虚部、实部分别相等，得到
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},$$
即 C-R 方程。注意：C-R 方程成立只是可导的必要条件；加上"四个偏导连续"才是充分条件。
四、解析函数的导数
当 C-R 方程成立且偏导连续时，导数可统一写成
$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\,\frac{\partial u}{\partial y}.$$
由于解析函数可导，且 C-R 方程可进一步推出高阶导数也存在，故解析函数无限次可导，并可展开为泰勒级数。
五、保角性（几何意义）
在导数 $f'(z_0)\neq 0$ 处，映射 $w=f(z)$ 是保角的：它把过 $z_0$ 的两条曲线间的夹角，大小与定向都保持不变（局部只是旋转加缩放）。保角性源于 C-R 方程。下方画板展示 $w=z^2$ 的映射——你会看到 $z$ 平面的正交网格在 $w$ 平面仍正交，但被"弯"成了曲线（辐角被加倍）。
保角性的代数说明：在点 $z_0$ 附近，增量满足 $\Delta w\approx f'(z_0)\Delta z$。复数乘法 $f'(z_0)=|f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}$ 表示先做旋转 $\arg f'(z_0)$ 再缩放 $|f'(z_0)|$。旋转对所有方向相同，故任意两条曲线的夹角被完整保留。
六、例题与解答
例题1（验证解析性）
验证 $f(z)=z^2$ 在全平面解析，并求 $f'(z)$。
解： $f(z)=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$，故 $u=x^2-y^2,\ v=2xy$。偏导：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=2y.$$
满足 C-R 且偏导连续，故 $f$ 全平面解析。由导数公式：
$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=2x+i(2y)=2z.$$
例题2（判断非解析）
判断 $f(z)=\bar z=x-iy$ 是否解析。
解： $u=x,\ v=-y$。$\dfrac{\partial u}{\partial x}=1,\ \dfrac{\partial v}{\partial y}=-1$，不满足 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$，故不解析（$z$ 取共轭破坏了方向无关性）。
例题3（用 C-R 判解析并求导）
验证 $f(z)=e^z=e^x\cos y+i\,e^x\sin y$ 在全平面解析，并求 $f'(z)$。
解： $u=e^x\cos y,\ v=e^x\sin y$。偏导：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=e^x\cos y,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=e^x\sin y.$$
满足 C-R 且偏导连续，故 $f$ 全平面解析。由导数公式：
$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\cos y+i\,e^x\sin y=e^z.$$
例题4（仅在一点满足 C-R 的函数）
讨论 $f(z)=|z|^2=x^2+y^2$ 的解析性。
解： $u=x^2+y^2,\ v=0$。偏导 $\partial u/\partial x=2x,\ \partial v/\partial y=0$，由 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ 得 $2x=0$；又 $\partial u/\partial y=2y,\ -\partial v/\partial x=0$，得 $2y=0$。故 C-R 仅在 $(0,0)$ 成立，无法在任一开区域处处成立，因此 $f$ 处处不解析（虽在原点可导）。
七、练习
1. 用 C-R 方程判断 $f(z)=\operatorname{Re}(z)=x$ 是否解析。
2. 验证 $f(z)=\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$ 满足 C-R 方程，并求 $f'(z)$。
3. 若 $f(z)=u+iv$ 解析且 $u=x^2-y^2$，求可能的 $v$ 与 $f(z)$。
提示/答案
- 1. $u=x,v=0$，$\partial u/\partial x=1\neq\partial v/\partial y=0$，不解析。
- 2. $u=\sin x\cosh y,\ v=\cos x\sinh y$；$\partial u/\partial x=\cos x\cosh y=\partial v/\partial y$，$\partial u/\partial y=\sin x\sinh y=-\partial v/\partial x$，满足 C-R，$f'(z)=\cos z$。
- 3. 由 C-R，$\partial v/\partial y=\partial u/\partial x=2x\Rightarrow v=2xy+\phi(x)$；又 $\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y=2y\Rightarrow 2y+\phi'(x)=2y\Rightarrow\phi'=0$。故 $v=2xy+C$，$f(z)=x^2-y^2+i(2xy+C)=z^2+iC$。
八、本章小结
- 复变函数 $w=f(z)$ 是复平面到 $w$ 平面的映射，几何上理解"网格如何变形"。
- 解析 $\iff$ C-R 方程 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y,\ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$ 且四个偏导连续。
- 此时 $f'(z)=\partial u/\partial x+i\,\partial v/\partial x$，且解析函数无限次可导、可展幂级数。
- 解析且 $f'(z)\neq0$ 处为保角映射：夹角大小与定向均保持。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
复变映射 w = z²：左 z 平面、右 w 平面。正交网格在 w 平面仍正交（保角），但被弯曲、辐角加倍。