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§1

留数定理是柯西积分公式的推广，把沿闭曲线的复积分化为内部奇点处的留数之和。它的巨大威力在于：许多难以直接计算的实定积分（尤其含三角、有理、无穷区间的积分）可转化为复平面上的围道积分。

本章目标

• 理解孤立奇点与留数的概念。
• 掌握留数定理：闭曲线积分 = $2\pi i$ × 内部留数之和。
• 会计算一阶极点处的留数，并用以计算实定积分。

一、孤立奇点

若 $f(z)$ 在 $a$ 的某去心邻域内解析，但在 $a$ 不解析，则 $a$ 是 $f$ 的孤立奇点。常见类型：

• 可去奇点：洛朗展开无负幂项（如 $\sin z/z$ 在 $z=0$）。
• 极点：负幂项最高次数为有限 $m$（$m$ 阶极点）。
• 本性奇点：负幂项无穷多。

二、留数定义

在环域 $r<|z-a|

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-a)^n,$$

其中 $c_{-1}$ 称为 $f$ 在 $a$ 处的留数，记作 $\operatorname{Res}(f,a)$。

三、留数定理

若 $f$ 在闭曲线 $C$ 内除有限个孤立奇点 $a_1,\dots,a_m$ 外解析，则

$$\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^{m}\operatorname{Res}(f,a_k).$$

> 几何直观：沿闭曲线 $C$ 走一圈，向量 $(z-a)$ 绕原点转的"圈数"（绕数）正是留数。下方画板以 $f(z)=1/(z-a)$ 演示：当极点 $a$ 在围道内时，$w=z-a$ 的像绕原点 1 圈，积分 $=2\pi i$；极点移出围道后，不再绕原点，积分 $=0$。

四、留数的计算

• 一阶极点 $a$ 处：

$$\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).$$

• $m$ 阶极点：

$$\operatorname{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-a)^m f(z)\big].$$

五、用留数定理算实积分

典型策略：取上半平面大半圆围道，当半径 $R\to\infty$ 时圆弧上的积分趋于 $0$，仅内部奇点的留数贡献结果。

六、例题与解答

例题1（一阶极点留数）

求 $g(z)=\dfrac{e^z}{z-1}$ 在 $z=1$ 处的留数。

解： $z=1$ 为一阶极点，

$$\operatorname{Res}(g,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{e^z}{z-1}=e.$$

例题2（留数定理算实积分）

用留数定理计算 $\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}$。

解： 复函数 $f(z)=\dfrac{1}{1+z^2}=\dfrac{1}{(z-i)(z+i)}$。取上半平面大半圆围道，内部唯一奇点 $z=i$（一阶极点）：

$$\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}=\frac{1}{2i}.$$

由留数定理，沿围道积分 $=2\pi i\cdot\dfrac{1}{2i}=\pi$。当 $R\to\infty$ 圆弧积分趋于 $0$，故

$$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi.$$

（由偶性 $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$。）

例题3（含三角函数的积分）

计算 $\displaystyle J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}\,dx$。

解： 考虑 $h(z)=\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}$，上半平面奇点 $z=i$，留数

$$\operatorname{Res}(h,i)=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i}.$$

围道积分 $=2\pi i\cdot\dfrac{e^{-1}}{2i}=\dfrac{\pi}{e}$。取实部得

$$J=\operatorname{Re}\!\left(\frac{\pi}{e}\right)=\frac{\pi}{e}.$$

七、本章小结

• 留数 $\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}$（洛朗展开 $(z-a)^{-1}$ 项系数）。
• 留数定理：$\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a_k)$。
• 一阶极点：$\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$；$m$ 阶极点用求 $(m-1)$ 阶导公式。
• 实积分策略：上半平面大半圆围道，圆弧积分随 $R\to\infty$ 消失，仅内部留数贡献。

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