振动与波 · AI-Math

本章目标

掌握简谐振动的运动学描述（振幅、角频率、频率、相位、初相）。
会用旋转矢量法确定初相与相位关系。
理解 SHM 能量守恒与阻尼、受迫振动、共振。
掌握机械波表达式 $y=A\sin(kx-\omega t)$ 与波速关系。
理解干涉条件、驻波与多普勒效应。

一句话核心提示：振动是波动的源，波动是振动在介质中的传播——二者由同一套简谐函数描述。

一、简谐振动

物体位移 $x$ 满足微分方程 $\ddot x + \omega^2 x = 0$ 的运动称为简谐振动（SHM），其解可写为：

简谐振动表达式 $$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

振幅 $A$：最大位移（非负）。
角频率 $\omega$（rad/s）：决定振动快慢，对弹簧振子 $\omega = \sqrt{k/m}$。
频率 $f = \omega/2\pi$，周期 $T = 1/f = 2\pi/\omega$。
相位 $\omega t + \varphi$：决定某一时刻的运动状态；初相 $\varphi$ 由初始条件决定。

速度与加速度：$v = -A\omega\sin(\omega t+\varphi)$，$a = -A\omega^2\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^2 x$，即加速度与位移反向、大小成正比。

二、旋转矢量法

把振幅矢量 $\vec A$ 以角速度 $\omega$ 绕原点逆时针旋转，其端点在 $x$ 轴上的投影恰为 $x = A\cos(\omega t+\varphi)$。这一旋转矢量（相量）法把抽象的「相位」变成直观的几何角度。

矢量与 $x$ 轴夹角为相位 $\omega t + \varphi$；$t=0$ 时夹角即初相 $\varphi$。
比较两同频振动 $x_1,x_2$：相位差 $\Delta\varphi = \varphi_2-\varphi_1$ 决定「超前/滞后」。
求初相：由 $x(0)$ 与 $v(0)$ 的符号（矢量所在象限）唯一确定 $\varphi$。

旋转矢量法是处理相位差、叠加与简谐合成的有力工具，也是交流电路相量法的物理原型。

三、简谐振动的能量

以水平弹簧振子为例，动能与势能分别为：

SHM 能量 $$E_k = \frac12 m v^2 = \frac12 k A^2\sin^2(\omega t+\varphi),\quad E_p = \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2\cos^2(\omega t+\varphi)$$

总机械能守恒 $$E = E_k + E_p = \frac12 k A^2 = \frac12 m\omega^2 A^2 = \text{常量}$$

动能与势能随时间相互转化，但总机械能恒定（无阻尼时）。能量与振幅平方成正比，因此振幅是衡量振动强弱的尺度。

四、阻尼振动与受迫振动、共振

阻尼振动：存在阻力（如黏滞阻力 $F_f = -bv$）时，振幅随时间衰减，方程 $\ddot x + 2\beta\dot x + \omega_0^2 x = 0$。欠阻尼下作振幅衰减的振荡。

受迫振动：在周期性外力 $F = F_0\cos\omega t$ 驱动下，系统最终以驱动力频率 $\omega$ 稳定振动。稳态振幅：

受迫振动振幅 $$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\beta\omega)^2}}$$

当驱动力频率接近系统固有频率 $\omega_0$（且阻尼小）时振幅达到极大，称共振。共振在乐器、桥梁（应避免）与无线电调谐中都有重要应用。

五、机械波基础

振动在弹性介质中传播形成机械波。沿 $+x$ 方向传播的简谐波表达式为：

行波表达式 $$y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi_0)$$

其中 $k = 2\pi/\lambda$ 为波数。波速、波长、频率满足：

波速关系 $$v = \frac{\omega}{k} = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$$

波速由介质性质决定（如绳波 $v=\sqrt{T/\mu}$，固体中纵波 $v=\sqrt{E/\rho}$），而频率由波源决定。同一波在不同介质中频率不变、波速与波长改变。

六、波的能量与惠更斯原理

波传播时，介质质元在平衡位置附近振动，因而具有动能与弹性势能，二者同相变化，体积元的总机械能随时间周期性变化（并非守恒，而是在相邻质元间传递）。波的强度：

波的强度 $$I = \frac12 \rho v \omega^2 A^2$$

惠更斯原理：波前上的每一点都可看作发射子波的新波源，其后任一时刻的新波前是这些子波的包络。该原理可解释波的反射、折射与衍射。

七、波的叠加、干涉、驻波与多普勒效应

叠加原理：几列波相遇时，介质质点的位移为各波位移的矢量和。

干涉：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，某些点始终加强、某些点始终减弱。相长条件 $\Delta\varphi = 2m\pi$，相消条件 $\Delta\varphi = (2m+1)\pi$。

驻波：两列振幅相同、反向传播的相干波叠加形成驻波 $y = 2A\cos kx\sin\omega t$。波节（振幅恒零）间距：

相邻波节间距 $$\Delta x_{\text{节}} = \frac{\lambda}{2}$$

多普勒效应：波源与观察者相对介质运动导致观测频率改变。对运动观察者/波源（波速 $v$）：

多普勒频移 $$f' = f\,\frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$$

分子靠近时频率升高、远离时降低，广泛用于测速、医学超声与天文红移。

八、动态示意：简谐振动

下方模拟一个弹簧振子，青色画出弹簧与滑块，右侧画出位移—时间曲线 $x(t)=A\cos(\omega t)$。拖动频率滑块改变角频率 $\omega$，点击「暂停/播放」定格观察。注意滑块过平衡位置时速度最大、加速度为零。

角频率 ω (÷100)

提示：ω 越大，振动越快、右侧正弦曲线越「密」。这与 x=A cos(ωt+φ) 中 ω 的物理意义一致。

九、动态示意：行波传播

下方模拟一列向右传播的行波 $y=A\sin(kx-\omega t)$。拖动波长滑块改变 $\lambda$（从而改变 $k=2\pi/\lambda$），观察波形的疏密与传播。波速 $v=\omega/k=\lambda f$ 由介质决定，这里固定 $\omega$ 只改变波长，可见 $\lambda$ 越大波形越稀疏。

波长 λ (÷100)

提示：固定波速时，波长与频率成反比（v=λf）——这正是不同颜色的光在同一种介质中频率不同、波长不同的原因。

例题

例题 1（由初始条件确定初相）

一质点作 SHM：$x=A\cos(\omega t+\varphi)$。已知 $t=0$ 时 $x_0 = A/2$ 且向 $+x$ 方向运动（$v_0>0$），求初相 $\varphi$。

解：由 $x_0 = A\cos\varphi = A/2$ 得 $\cos\varphi = 1/2$，故 $\varphi = \pm\pi/3$。又 $v_0 = -A\omega\sin\varphi > 0$，要求 $\sin\varphi < 0$，所以 $\varphi = -\pi/3$（或等价地 $5\pi/3$）。

例题 2（驻波相邻波节间距）

弦上驻波波长 $\lambda = 0.80\,\text{m}$，求相邻两波节之间的距离。

解： $$\Delta x_{\text{节}} = \frac{\lambda}{2} = \frac{0.80}{2} = 0.40\,\text{m}.$$

本章小结

SHM：$x=A\cos(\omega t+\varphi)$，$a=-\omega^2 x$；旋转矢量法用于确定初相与相位差。
SHM 总机械能 $E=\frac12 kA^2$ 守恒；能量与 $A^2$ 成正比。
阻尼使振幅衰减；受迫振动在 $\omega\approx\omega_0$ 发生共振。
行波 $y=A\sin(kx-\omega t)$，波速 $v=\omega/k=\lambda f$ 由介质决定。
干涉需同频、同方向、恒定相位差；驻波波节间距 $\lambda/2$。
多普勒效应：$f' = f(v\pm v_o)/(v\mp v_s)$，源/观察者相对运动改变观测频率。