一、几何光学基础
在波长可忽略（障碍物远大于 $\lambda$）时，光沿直线传播，可用光线近似。两介质界面满足：
$$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$$
其中 $n=c/v$ 为折射率。反射角等于入射角。当光由光密介质射向光疏介质（$n_1>n_2$）且入射角超过临界角时发生全反射：
$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$
全反射用于光纤通信、棱镜全反射导光等。折射率还关联光速与波长，是色散的根源。
费马原理
几何光学可统一于费马原理：光在两点间实际走过的路径，使光程（光学路径长度）
$$L = \int n\,ds$$
取驻值（极小、极大或常量，$\delta L=0$）。由费马原理可导出反射定律与折射定律：例如对平面反射，等光程要求入射角等于反射角；对各向同性界面，变分 $\delta\int n\,ds=0$ 即给出斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。
二、光的波动性与杨氏双缝干涉
杨氏双缝实验中，单色光通过双缝后在屏上形成等间距明暗相间的干涉条纹。两缝到屏上 $P$ 点的光程差为 $\delta = d\sin\theta \approx d\,y/L$（$L\gg d$）。
$$ \delta = d\sin\theta = m\lambda,\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots $$
$$ \delta = d\sin\theta = \left(m+\frac12\right)\lambda $$
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$
条纹间距与波长 $\lambda$ 成正比、与缝距 $d$ 成反比。这就是为什么白光入射时中央白纹两侧出现彩色条纹（不同 $\lambda$ 的亮纹位置不同）。
三、薄膜干涉
光照射透明薄膜（如肥皂膜、油膜）时，薄膜上下表面反射光发生干涉。考虑半波损失（光从光疏到光密反射时相位突变 $\pi$，等效附加光程 $\lambda/2$），垂直入射时总光程差：
$$\delta = 2n e + \frac{\lambda}{2}$$
由此可解释薄膜彩色与「等厚干涉」（如牛顿环）。在透镜表面镀一层折射率适当的增透膜（厚度 $e=\lambda/4n$），使反射光相消、透射增强。
四、单缝衍射
光通过单缝时，由于衍射不再成几何像，而在屏上形成中央亮纹宽、两侧次级亮纹弱的衍射图样。用半波带法可得暗纹位置：
$$a\sin\theta = m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,\dots$$
中央亮纹的角宽度约 $2\lambda/a$，比次级亮纹宽一倍。缝宽 $a$ 越小，衍射越显著；波长越长衍射越明显（如声波、无线电波易衍射）。
> 注意：干涉与衍射本质都是相干叠加，区别仅在参与叠加的是有限个分立光束（干涉）还是连续分布的子波（衍射）。
| 现象 | 参与叠加的光 | 典型公式 |
|---|---|---|
| 干涉（双缝） | 有限个分立光束 | $\delta=d\sin\theta$ |
| 衍射（单缝） | 连续分布的子波 | $a\sin\theta=m\lambda$（暗纹） |
五、光栅衍射
由大量等间距平行狭缝组成的衍射光栅，其主极大（亮纹）由多光束干涉决定：
$$d\sin\theta = m\lambda,\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots$$
其中 $d$ 为光栅常数（缝距）。由于狭缝数极多，主极大变得极窄、极亮，因而光栅能把不同波长的光在空间上分开，是光谱分析的核心元件。白光入射时不同级次出现彩色光谱。
六、偏振与马吕斯定律
横波的振动方向相对于传播方向有取向——这一特性称为偏振。自然光在各方向振动均匀，通过偏振片后变为线偏振光。
强度为 $I_0$ 的线偏振光通过检偏器（偏振化方向与原偏振方向夹角为 $\theta$），透射强度由马吕斯定律给出：
$$I = I_0\cos^2\theta$$
当 $\theta=0$ 透射最强，$\theta=90^\circ$ 完全消光。偏振现象证明光是横波，应用于液晶显示、偏光太阳镜与应力分析。
七、动态示意：双缝干涉条纹
下方模拟屏上双缝干涉的亮度分布（亮带=相长、暗带=相消）。拖动「缝距 d」与「波长 λ」两个滑块观察：条纹间距随 $\lambda$ 增大而变大、随 $d$ 增大而变小——正是 $\Delta y = \lambda L/d$ 的体现。注意中央始终有一条最亮的零级亮纹。
提示：把 d 调大，条纹迅速变密；这符合「双缝越近、干涉条纹越疏」的直觉。
例题
例题 1（双缝条纹间距） 双缝间距 $d = 0.20\,\text{mm}$，屏距 $L = 1.0\,\text{m}$，用波长 $\lambda = 600\,\text{nm}$ 的单色光照射，求相邻亮纹间距 $\Delta y$。
解：
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{600\times10^{-9}\times1.0}{0.20\times10^{-3}} = 3.0\times10^{-3}\,\text{m} = 3.0\,\text{mm}.$$
例题 2（马吕斯定律） 线偏振光强度 $I_0 = 200\,\mathrm{W/m^2}$，通过检偏器，偏振化方向与原方向夹角 $\theta = 60^\circ$，求透射光强 $I$。
解：
$$I = I_0\cos^2\theta = 200\times\cos^2 60^\circ = 200\times\left(\frac12\right)^2 = 200\times\frac14 = 50\,\mathrm{W/m^2}.$$
例题 3（全反射临界角）
玻璃折射率 $n_1=1.50$，空气 $n_2=1.00$。光由玻璃射向空气，求发生全反射的临界角 $\theta_c$。
解：
$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.50} = 0.667, \qquad \theta_c = \arcsin 0.667 \approx 41.8^\circ.$$
入射角大于 $41.8^\circ$ 时发生全反射——光纤正是利用此原理导光。
例题 4（增透膜厚度）
在玻璃（$n_g=1.50$）表面镀折射率 $n=1.38$ 的氟化镁增透膜，垂直入射光波长 $\lambda=550\,\text{nm}$。为使反射相消，求膜的最小厚度。
解： 两反射面均有半波损失，附加光程相互抵消，只需膜内往返光程为半波长的整数倍。最小厚度取
$$2ne = \frac{\lambda}{2} \;\Rightarrow\; e = \frac{\lambda}{4n} = \frac{550}{4\times1.38} \approx 99.6\,\text{nm}.$$
例题 5（单缝衍射角位置）
单缝宽 $a=0.10\,\text{mm}$，波长 $\lambda=600\,\text{nm}$。求第一级暗纹的衍射角 $\theta_1$。
解： 暗纹条件 $a\sin\theta=m\lambda$（$m=1$）：
$$\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{600\times10^{-9}}{0.10\times10^{-3}} = 6.0\times10^{-3}, \qquad \theta_1 \approx 0.344^\circ.$$
练习
1. 水 $n=1.33$ 到空气的全反射临界角是多少？
- 提示：$\sin\theta_c=1/1.33$，$\theta_c\approx 48.8^\circ$。
2. 双缝 $d=0.50\,\text{mm}$，屏距 $L=2.0\,\text{m}$，$\lambda=500\,\text{nm}$，求条纹间距。
- 提示：$\Delta y=\lambda L/d=2.0\times10^{-3}\,\text{m}=2.0\,\text{mm}$。
3. 增透膜 $n=1.38$，$\lambda=600\,\text{nm}$，求最小厚度。
- 提示：$e=\lambda/(4n)\approx 109\,\text{nm}$。
4. 单缝 $a=0.20\,\text{mm}$，$\lambda=600\,\text{nm}$，求中央亮纹的半角宽（第一暗纹角）。
- 提示：$\sin\theta=\lambda/a=3.0\times10^{-3}$，$\theta\approx 0.172^\circ$。
本章小结
- 折射定律 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$；费马原理 $\delta\int n\,ds=0$ 统一导出反射与折射。
- 全反射临界角 $\sin\theta_c=n_2/n_1$（$n_1>n_2$）。
- 双缝干涉：亮纹 $\delta=m\lambda$，暗纹 $\delta=(m+\frac12)\lambda$，条纹间距 $\Delta y=\lambda L/d$。
- 薄膜干涉含半波损失 $\lambda/2$；增透膜厚度取 $\lambda/4n$。
- 单缝衍射暗纹 $a\sin\theta=m\lambda$；光栅方程 $d\sin\theta=m\lambda$ 用于分光。
- 马吕斯定律 $I=I_0\cos^2\theta$；偏振证明光是横波。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。