本章目标
- 理解温度与热力学第零定律，掌握摄氏 / 热力学温标换算。
- 掌握理想气体状态方程 $pV = nRT$ 及其微观图像。
- 理解内能概念，掌握热力学第一定律 $\Delta U = Q - W$。
- 熟悉等温、等压、等容、绝热四类典型过程的能量关系与 $p\!-\!V$ 图。
一、温度与热力学第零定律
温度是衡量物体冷热程度的物理量，微观上是分子平均平动动能的标志：
其中 $k = 1.38\times10^{-23}\,\text{J/K}$ 为玻尔兹曼常数。
热力学第零定律：若系统 A 与 B 热平衡、B 与 C 热平衡，则 A 与 C 也热平衡。该定律使「温度」成为可比较的物理量。温标换算：
二、理想气体状态方程
理想气体模型忽略分子自身体积与分子间相互作用（除瞬时碰撞外）。宏观状态由压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$ 描述：
其中 $n$ 为物质的量，$N$ 为分子总数，$R = 8.314\,\text{J/(mol·K)}$ 为普适气体常数。
三、内能
理想气体的内能仅是温度的函数，等于全体分子热运动动能之和：
$f$ 为自由度（单原子分子 $f=3$，刚性双原子分子 $f=5$）。定容摩尔热容 $C_V = \dfrac{f}{2}R$，定压摩尔热容 $C_p = C_V + R$，二者满足迈耶公式 $C_p - C_V = R$。
四、热力学第一定律
能量守恒在热现象中的表达：系统从外界吸热 $Q$、对外做功 $W$，则内能变化
约定：系统吸热 $Q>0$，系统对外做功 $W>0$。常见特例：
- 等容过程：$W=0$，$\Delta U = Q_V = nC_V\Delta T$；
- 等压过程：$W = p\Delta V$，$\Delta U = nC_V\Delta T$；
- 循环过程：回到初态 $\Delta U = 0$，净功 $W_{\text{net}} = Q_{\text{net}}$，等于 $p\!-\!V$ 图上闭合曲线包围的面积。
五、四个典型过程与 $p\!-\!V$ 图
| 过程 | 条件 | $p\!-\!V$ 关系 |
|---|---|---|
| 等温 | $T=\text{const}$ | $pV=\text{const}$（双曲线） |
| 等压 | $p=\text{const}$ | $V\propto T$（直线） |
| 等容 | $V=\text{const}$ | $p\propto T$（直线） |
| 绝热 | $Q=0$ | $pV^\gamma=\text{const}$ |
绝热指数 $\gamma = C_p/C_V$（$f=3$ 时 $\gamma=5/3$，$f=5$ 时 $\gamma=7/5$）。绝热过程中温度随体积变化满足 $TV^{\gamma-1}=\text{const}$。
六、动态示意：分子热运动与速率分布
下方为交互模拟。拖动「温度」滑块可观察分子平均速率增大、右侧麦克斯韦速率分布整体右移，同时器壁碰撞频率（压强）升高——直观体现动理论与第一定律的微观起源。
例题（等温膨胀做功）
$1.0\,\text{mol}$ 理想气体在 $T=300\,\text{K}$ 下从 $V_1=10\,\text{L}$ 等温膨胀到 $V_2=30\,\text{L}$，求气体对外做功。
本章小结
- 温度是分子平均动能的标志，第零定律确立了温度的可比性。
- 理想气体状态方程 $pV = nRT = NkT$。
- 内能仅是温度函数：$U = \dfrac{f}{2}nRT$。
- 第一定律 $\Delta U = Q - W$；循环净功等于 $p\!-\!V$ 图面积。
- 四典型过程：$pV=\text{const}$（等温）、$p=\text{const}$、$V=\text{const}$、$pV^\gamma=\text{const}$（绝热）。
与数学工具的联系
- 微积分：做功 $W = \displaystyle\int p\,dV$，要求会算曲线下面积与对数积分。
- 概率统计：麦克斯韦速率分布 $f(v)$ 是概率密度，需归一化与求期望速率。
- 对数与指数：绝热关系涉及 $V^{\gamma-1}$，热容比 $\gamma$ 为比值运算。