本章目标
- 以简谐振动 $x=A\cos\omega t$ 为起点，理解一切波动的共同结构。
- 掌握行波的叠加原理，并由此导出驻波与干涉。
- 区分波节与波腹，会算两端固定弦的简正频率。
- 能把波动概念迁移到光学：双缝干涉条纹间距、衍射的物理意义。
核心提示：振动是"一点的往复"，波是"振动在空间的传播"。简谐振动是波动的"原子"——任何复杂波形都可看作不同频率简谐波的叠加。
一、波的统一描述
简谐振动是最基本的周期运动：
简谐振动
$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$
它只需三个量：振幅 $A$、角频率 $\omega=2\pi f$、初相 $\varphi$。当它沿 $x$ 方向以波速 $v$ 传播，便成为行波：
行波
$$y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega = vk$$
$k$ 为波数，$\lambda$ 为波长。注意 $\omega t$ 前的负号表示波向右传播（相位不变点 $kx-\omega t=\text{const}$ 随时间 $x$ 增大）。
二、行波与叠加
波动服从叠加原理：两列波相遇时，介质中每点的位移等于各列波单独存在时位移的代数和。这是线性介质（小振幅）下的关键近似。叠加产生两种重要现象：
- 同向、同频的两列行波相向相遇 → 驻波（能量不传播，只有振荡）。
- 频率相近的两列行波同向叠加 → 拍（振幅周期性强弱变化）。
- 来自不同源的相干波在空间重叠 → 干涉（稳定强弱分布）。
三、驻波
入射波 $y_1=A\cos(kx-\omega t)$ 与反射波 $y_2=A\cos(kx+\omega t)$ 叠加，利用和差化积得：
驻波方程
$$y = y_1+y_2 = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$$
空间因子 $\cos(kx)$ 与时间因子 $\cos(\omega t)$ 分离：
- 波节：$\cos(kx)=0$ 处，振幅恒为 0（始终不动）。
- 波腹：$|\cos(kx)|=1$ 处，振幅最大 $2A$。
两端固定的弦长为 $L$，要求两端为波节，故 $L = n\cdot \dfrac{\lambda_n}{2}$，对应波数 $k_n=\dfrac{n\pi}{L}$，简正频率为
弦的简正频率
$$f_n = \frac{n v}{2L},\qquad n=1,2,3,\dots$$
四、干涉与衍射（光学）
波动进入光学后，叠加原理表现为：
- 干涉：两束相干光（如双缝）叠加，光强 $I\propto \cos^2(\Delta\varphi/2)$，明暗条纹由光程差 $\delta$ 决定。双缝干涉明纹条件 $\delta = d\sin\theta = m\lambda$，相邻明纹间距
双缝干涉条纹间距
$$\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$$
- 衍射：波遇到与波长相近的障碍物/狭缝时"绕弯"。单缝衍射中央明纹宽度 $\Delta x_0 = 2\lambda D/a$（$a$ 为缝宽），本质是同一波前上无穷多子波相干叠加的结果。
从驻波到双缝干涉，再到衍射，底层都是同一个叠加原理——只是边界条件不同。
五、动态示意：驻波形成
下方模拟两端固定的弦上驻波。拖动「谐波次数 n」观察波节数（n+1 个）与波腹数（n 个）如何随 n 变化；粉色虚线为振动包络，灰色圆点为始终不动的波节。注意每个谐波都是弦的独立"本征振动模式"，真实弦的振动是它们的线性组合。
提示：基频（n=1）只有一个波腹、两个波节；频率正比于 n，故第 n 次谐波频率是基频的 n 倍。
例题1（弦的简正频率）
例题
一根长 $L=0.8\,\text{m}$ 的弦，两端固定，波速 $v=320\,\text{m/s}$。求基频与各次谐波频率（写前三次）。
解：基频（n=1）
$$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{320}{2\times 0.8} = 200\,\text{Hz}.$$
各次谐波 $f_n = n f_1$，故
$$f_1=200\,\text{Hz},\quad f_2=400\,\text{Hz},\quad f_3=600\,\text{Hz}.$$
注意相邻谐波相差固定 $200\,\text{Hz}$——这是乐器"音色"的数学来源：不同谐波成分的强弱决定音品。
例题2（双缝干涉条纹间距）
例题
双缝间距 $d=0.5\,\text{mm}$，屏距 $D=1.5\,\text{m}$，光波长 $\lambda=600\,\text{nm}$。求相邻明纹间距 $\Delta x$。
解：由 $\Delta x = \lambda D/d$，先统一单位：$\lambda=600\times 10^{-9}\,\text{m}$，$d=0.5\times 10^{-3}\,\text{m}$。
$$\Delta x = \frac{600\times 10^{-9}\times 1.5}{0.5\times 10^{-3}} = \frac{9.0\times 10^{-7}}{5.0\times 10^{-4}} = 1.8\times 10^{-3}\,\text{m} = 1.8\,\text{mm}.$$
条纹间距仅约 $1.8\,\text{mm}$，说明干涉条纹很密——实验中需较大 D 或使用短波长（如激光）才能清晰观测。
本章小结
- 简谐振动 $x=A\cos\omega t$ 是波动的"原子"，行波 $y=A\cos(kx-\omega t)$ 是其传播形式。
- 叠加原理导出驻波（波节/波腹）、拍、干涉。
- 两端固定弦：$f_n = nv/(2L)$，n 次谐波频率是基频的 n 倍。
- 双缝干涉 $\Delta x=\lambda D/d$；衍射是同一叠加原理在边界条件下的表现。