本章目标
- 理解狭义相对论的核心：光速不变、时间膨胀、长度收缩与质能等价 $E=mc^2$。
- 掌握量子论的基本假设：能量量子化、光子、德布罗意物质波。
- 理解玻尔原子模型如何用量子化解释氢原子光谱。
- 能综合运用相对论因子、光子能量与玻尔能级分析近代物理问题。
核心提示：20 世纪物理的两大革命——相对论重写了"时空"，量子论重写了"因果与测量"。它们在一个问题上汇合：原子。原子尺度上，量子规则主导；接近光速时，相对论主导。
一、狭义相对论：时空相对
光速 $c$ 在所有惯性系中不变，导致时间与空间不再是绝对的。洛伦兹因子
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$
运动时钟变慢（时间膨胀）$\Delta t=\gamma\Delta t_0$，运动杆变短（长度收缩）$L=L_0/\gamma$。质能等价 $E=mc^2$ 表明质量即能量。
二、量子论：能量量子化
普朗克假设能量交换是离散的：$E=h\nu$。爱因斯坦把光看成光子，能量 $E=h\nu$、动量 $p=h/\lambda$。德布罗意进一步给出物质波波长
$$\lambda = \frac{h}{p},$$
电子等粒子也具有波动性——这是量子力学的起点。
三、原子物理：量子化的太阳系
玻尔模型对氢原子：电子角动量量子化 $L=n\hbar$，轨道能级
$$E_n = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}.$$
电子在不同能级间跃迁，吸收或发射光子 $h\nu=|E_i-E_f|$，成功解释氢光谱线系。
四、动态示意：时间膨胀
下方模拟一对孪生钟：地面钟与以速度 $v$ 运动的飞船钟。拖动「速度 v/c」观察运动钟相对地面钟的走时变慢程度（因子 $\gamma$）。当 $v\to c$，时间几乎"冻结"——这正是狭义相对论最反直觉也最被实验证实的预言。
例题1（相对论因子与长度收缩）
飞船以 $v=0.8c$ 飞行。求洛伦兹因子 $\gamma$，以及地面测得 $100\,\text{m}$ 长的飞船在运动方向上的长度。
解：
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.8^2}}=\frac{1}{\sqrt{0.36}}=\frac{1}{0.6}=1.667.$$
长度收缩 $L=L_0/\gamma=100/1.667=60.0\,\text{m}$。
例题2（光子能量与光电效应）
波长 $\lambda=400\,\text{nm}$ 的紫光光子，求能量（用 $hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}$）。若金属逸出功 $W=2.0\,\text{eV}$，求光电子最大初动能。
解： 光子能量
$$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240}{400}=3.10\,\text{eV}.$$
由光电效应方程 $K_{\max}=h\nu-W=3.10-2.0=1.10\,\text{eV}$。
例题3（玻尔能级与氢光谱）
氢原子从 $n=3$ 跃迁到 $n=2$，求发射光子波长（里德伯常数 $R=1.097\times10^7\,\text{m}^{-1}$）。
解： 波数
$$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=1.097\times10^7\times\frac{5}{36}=1.523\times10^6\,\text{m}^{-1}.$$
$$\lambda=\frac{1}{1.523\times10^6}=6.56\times10^{-7}\,\text{m}=656\,\text{nm},$$
即氢的巴耳末系 Hα 红线。
本章小结
- 狭义相对论：洛伦兹因子 $\gamma$、时间膨胀、长度收缩、质能等价 $E=mc^2$。
- 量子论：能量量子化 $E=h\nu$、光子、德布罗意波 $\lambda=h/p$。
- 玻尔原子：$E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2$，跃迁发光 $h\nu=|E_i-E_f|$。
- 相对论与量子论在原子尺度交汇，共同构成近代物理的基石。