本章目标
- 回顾牛顿三定律与质点运动学，理解 $\vec F=m\vec a$ 是力学的核心方程。
- 认识功与能是 $\vec F=m\vec a$ 的积分形式（动能定理、机械能守恒）。
- 理解刚体转动是平动的推广：$\vec\tau=I\vec\alpha$ 与 $\vec F=m\vec a$ 同构。
- 能综合运用动量守恒、能量守恒与抛体运动分析综合问题。
核心提示：力学的几章不是孤岛——牛顿定律定"加速度"，能量与动量是其两个守恒量（第一积分），转动把这一切推广到三维，流体则是连续介质版的牛顿定律。
一、牛顿三定律：力学的根基
第一定律（惯性）说明存在惯性系；第二定律 $\vec F=m\vec a$ 把"受力"与"运动变化"定量相连；第三定律（作用力与反作用力）保证系统内部动量守恒。已知力求运动，就是解微分方程 $m\ddot{\vec r}=\vec F(\vec r,\dot{\vec r},t)$。
抛体运动是最经典的例子：水平方向不受力（匀速），竖直方向受重力（匀加速），轨迹自然是抛物线。
二、功与能：$\vec F=m\vec a$ 的积分形式
对 $\vec F=m\vec a$ 沿路径点乘位移并积分，即得动能定理：
$$W = \int \vec F\cdot d\vec r = \Delta K = \frac12 mv^2 - \frac12 mv_0^2$$
若力为保守力（重力、弹簧力、万有引力），可引入势能 $U$，得到机械能守恒 $E=K+U=\text{常量}$。能量守恒是牛顿定律在时间平移对称下的必然结果——它把"求运动全过程"化简为"比初末状态"。
三、刚体转动：平动的推广
把质点换成刚体，平动推广为转动，对应关系是：
| 平动 | 转动 |
|---|---|
| 力 $\vec F$ | 力矩 $\vec\tau=\vec r\times\vec F$ |
| 质量 $m$ | 转动惯量 $I$ |
| 加速度 $\vec a$ | 角加速度 $\vec\alpha$ |
| $\vec F=m\vec a$ | $\vec\tau=I\vec\alpha$ |
| 动量 $\vec p=m\vec v$ | 角动量 $\vec L=I\vec\omega$ |
转动动能 $K=\frac12 I\omega^2$，角动量守恒（如旋转凳收臂加速）对应平动动量守恒。
四、动态示意：抛体运动
下方模拟从原点以初速 $v_0$、仰角 $\theta$ 斜抛的轨迹。拖动「仰角 $\theta$」「初速 $v_0$」观察射程与最大高度如何变化；点击「暂停/播放」定格。抛物线来自水平匀速、竖直匀加速的合成——正是牛顿第二定律在重力场下的直接解。注意：射程 $R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}$ 在 $\theta=45^\circ$ 时最大。
例题1（抛体射程与最大高度）
以初速 $v_0=20\,\text{m/s}$、仰角 $\theta=30^\circ$ 斜抛（取 $g=9.8\,\text{m/s}^2$）。求射程 $R$ 与最大高度 $H$。
解： 水平、竖直初速分量
$$v_x=v_0\cos\theta=20\cos30^\circ=17.32\,\text{m/s},\qquad v_y=v_0\sin\theta=20\sin30^\circ=10\,\text{m/s}.$$
飞行时间由竖直运动决定：$t=\dfrac{2v_y}{g}=\dfrac{20}{9.8}=2.041\,\text{s}$。射程
$$R=v_x t=17.32\times 2.041=35.35\,\text{m}.$$
最大高度出现在 $v_y=0$ 时：
$$H=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{100}{19.6}=5.10\,\text{m}.$$
例题2（斜面下滑：牛顿定律 + 能量）
质量 $m$ 的物体从倾角 $\theta=37^\circ$、高 $h=1.0\,\text{m}$ 的光滑斜面顶端由静止滑下。求到底端的速度。
解（能量法）： 无摩擦，机械能守恒 $mgh=\frac12 mv^2$，故
$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 1.0}=4.43\,\text{m/s}.$$
（若用牛顿定律：沿斜面加速度 $a=g\sin\theta$，滑行距离 $s=h/\sin\theta$，得 $v^2=2as=2g\sin\theta\cdot h/\sin\theta=2gh$，一致——两种视角等价。）
例题3（旋转凳：角动量守恒）
人手持哑铃坐在可自由转动的凳上，初始角速度 $\omega_0$，转动惯量 $I_0$。收臂后转动惯量变为 $I_1=I_0/2$。求收臂后角速度 $\omega_1$。
解： 无外力矩，角动量守恒 $I_0\omega_0=I_1\omega_1$，故
$$\omega_1=\frac{I_0}{I_1}\omega_0=2\omega_0.$$
转动惯量减小一半，角速度加倍——这正是转动版"动量守恒"。
本章小结
- 牛顿第二定律 $\vec F=m\vec a$ 是力学核心；已知力求运动即解运动微分方程。
- 动能定理与机械能守恒是 $\vec F=m\vec a$ 的积分形式，化"过程"为"状态"。
- 刚体转动与平动同构：$\vec\tau=I\vec\alpha$ 对应 $\vec F=m\vec a$，角动量守恒对应动量守恒。
- 流体力学是连续介质版的牛顿定律；抛体、斜面、旋转凳分别是三大力学视角的综合实例。