本章目标
- 理解狭义相对论两大基本原理。
- 掌握洛伦兹变换及其推论（时间膨胀、长度收缩、同时的相对性）。
- 理解质速关系与质能方程。
- 会做时间膨胀、质能转换等数值计算。
一、两大基本原理
- 相对性原理：所有惯性系中物理定律形式相同。
- 光速不变原理：真空中光速 $c\approx 3.00\times10^8\,\text{m/s}$ 对所有惯性观察者相同，与光源运动无关。
物理图景：摒弃「绝对时间」与「绝对空间」，时间长短与空间距离都依赖于观察者的运动状态。
二、洛伦兹变换
设 $S'$ 系相对 $S$ 系以速度 $v$ 沿 $x$ 轴运动，定义洛伦兹因子：
洛伦兹因子
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \quad (\gamma \ge 1)$$
坐标变换：
$$x' = \gamma(x - vt),\qquad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$
当 $v\ll c$ 时 $\gamma\to 1$，退化为伽利略变换。
三、时间膨胀
运动时钟走得更慢。原时（同一地点测得）$\Delta\tau$ 与运动时 $\Delta t$ 关系：
时间膨胀
$$\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$$
即「运动的钟变慢」。
四、长度收缩
沿运动方向的长度测量值缩短：
长度收缩
$$L = \frac{L_0}{\gamma}$$
$L_0$ 为固有长度（在物体静止系测得）。垂直于运动方向的长度不变。
五、同时的相对性
在 $S$ 系中异地同时发生的两事件，在相对运动的 $S'$ 系中不再同时：
$$\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{v\Delta x}{c^2}\right)$$
若 $\Delta t=0$ 而 $\Delta x\neq 0$，则 $\Delta t'\neq 0$ ——「同时」是相对的。
六、质速关系与质能方程
运动质量随速度增大：
$$m = \gamma m_0$$
总能量与静能：
$$E = mc^2 = \gamma m_0 c^2,\qquad E_0 = m_0 c^2$$
能量-动量关系：
$$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$$
相对论动能 $K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2$（低速下退回 $\tfrac12 m_0 v^2$）。
例题1（时间膨胀：μ 子寿命）
例题1
宇宙线产生的 μ 子固有平均寿命 $\tau=2.2\,\mu\text{s}$，以 $v=0.99c$ 运动。求地面观察者测得的平均寿命。
解：洛伦兹因子
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.99^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} \approx \frac{1}{0.1411} \approx 7.09$$
$$\Delta t = \gamma\tau = 7.09\times 2.2\,\mu\text{s} \approx 15.6\,\mu\text{s}$$
答：地面测得平均寿命约 $15.6\,\mu\text{s}$（因此 μ 子能穿透大气到达地面）。
例题2（质能方程）
例题2
求电子的静能，并将其与 $1.0\,\text{kg}$ 质量完全转化为能量时的能量比较。（电子质量 $m_e=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}$）
解：电子静能
$$E_0 = m_e c^2 = 9.11\times10^{-31}\times (3.00\times10^8)^2 = 9.11\times10^{-31}\times 9.00\times10^{16}$$
$$= 8.20\times10^{-14}\,\text{J}$$
换算为电子伏特（$1\,\text{eV}=1.60\times10^{-19}\,\text{J}$）：
$$E_0 = \frac{8.20\times10^{-14}}{1.60\times10^{-19}} \approx 5.12\times10^5\,\text{eV} = 0.512\,\text{MeV}$$
$1.0\,\text{kg}$ 质量完全转化：
$$E = mc^2 = 1.0\times 9.00\times10^{16} = 9.0\times10^{16}\,\text{J}$$
答：电子静能约 $0.512\,\text{MeV}$（$8.2\times10^{-14}\,\text{J}$）；$1\,\text{kg}$ 质量对应能量约 $9.0\times10^{16}\,\text{J}$。
本章小结
- 两大原理：相对性原理 + 光速不变（真空中 $c\approx 3.00\times10^8\,\text{m/s}$）。
- 洛伦兹因子 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$。
- 时间膨胀 $\Delta t=\gamma\Delta\tau$；长度收缩 $L=L_0/\gamma$；同时具有相对性。
- 质能方程 $E=mc^2$，静能 $E_0=m_0c^2$。
- 能量动量关系 $E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$。
与数学工具的联系
- 代数变换：洛伦兹变换是一组线性坐标变换。
- 极限：低速展开 $\gamma\approx 1+\tfrac12 v^2/c^2$ 退回经典结果。
- 四维时空：可纳入四维向量（四维动量）统一描述。