量子力学初步

本章目标

理解普朗克量子化、光电效应与波粒二象性。
掌握德布罗意波长与不确定关系。
了解玻尔原子模型与氢原子能级。
认识薛定谔方程与一维无限深势阱能级。

一、黑体辐射与普朗克量子化

经典物理无法解释黑体辐射的「紫外灾难」。普朗克假设能量不是连续的，而是以「量子」形式发射吸收：

普朗克能量子 $$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$$

其中普朗克常数 $h\approx 6.626\times10^{-34}\,\text{J·s}$，$\nu$ 为频率。这是量子论的起点。

二、光电效应

物理图景：光照射金属表面打出电子。爱因斯坦用「光量子（光子）」解释：

$$h\nu = W + K_{\max}$$

$W$ 为逸出功（功函数），$K_{\max}=eU_s$ 为光电子最大初动能（$U_s$ 为截止电压）。存在截止频率 $\nu_0=W/h$：低于它无论光强多大都不出电子。

三、玻尔原子模型

玻尔对氢原子提出两条量子化条件：轨道角动量 $L=n\hbar\;(n=1,2,3,\dots)$，其中 $\hbar=h/2\pi\approx 1.055\times10^{-34}\,\text{J·s}$。由此得到氢原子能级：

$$E_n = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2},\qquad r_n = n^2 a_0,\quad a_0\approx 0.0529\,\text{nm}$$

能级跃迁吸收/发射光子满足 $h\nu = |E_i - E_f|$。

四、德布罗意波长

一切物质都具有波动性，波长与动量成反比：

德布罗意波长 $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

电子经电压 $U$ 加速后（$\tfrac12 mv^2=eU$）的德布罗意波长经验式：

$$\lambda = \frac{1.226\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}$$

五、不确定关系

海森堡指出，位置与共轭动量无法同时任意精确测定：

海森堡不确定关系 $$\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$

这是微观粒子的内禀性质，而非测量技术不足。能量与时间也有 $\Delta E\,\Delta t \ge \hbar/2$。

六、薛定谔方程与势阱

微观粒子的状态由波函数 $\psi(\vec r,t)$ 描述，模方 $|\psi|^2$ 表示概率密度。定态（时间无关）薛定谔方程：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

一维无限深势阱（宽 $L$，壁处 $\psi=0$）能级量子化：

$$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2},\qquad n=1,2,3,\dots$$

基态 $n=1$ 能量不为零（零点能），体现不确定关系的后果。

例题1（光电效应）

例题1

波长 $\lambda=400\,\text{nm}$ 的光照射逸出功 $W=2.0\,\text{eV}$ 的金属。求光电子最大初动能与截止电压。（取 $hc=1240\,\text{eV·nm}$）

解：光子能量 $$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{400} = 3.10\,\text{eV}$$ 由 $h\nu = W + K_{\max}$： $$K_{\max} = 3.10 - 2.0 = 1.10\,\text{eV}$$ 截止电压 $U_s = K_{\max}/e = 1.10\,\text{V}$。答：最大初动能 $1.10\,\text{eV}$，截止电压 $1.10\,\text{V}$。

例题2（德布罗意波长）

例题2

电子经 $U=100\,\text{V}$ 电压加速后，求其德布罗意波长。（电子质量 $m_e=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}$，$e=1.60\times10^{-19}\,\text{C}$）

解：用经验式 $$\lambda = \frac{1.226\,\text{nm}}{\sqrt{100}} = \frac{1.226}{10} = 0.123\,\text{nm} = 1.23\times10^{-10}\,\text{m}$$ （亦可由 $p=\sqrt{2m_e eU}$ 直接计算：$\lambda=h/p\approx 1.23\times10^{-10}\,\text{m}$。）答：德布罗意波长约 $1.23\times10^{-10}\,\text{m}$。

本章小结

普朗克量子化：$E=h\nu=hc/\lambda$，$h\approx 6.626\times10^{-34}\,\text{J·s}$。
光电效应：$h\nu=W+K_{\max}$，存在截止频率。
玻尔氢原子：$E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2$。
德布罗意波长：$\lambda=h/p$。
不确定关系：$\Delta x\,\Delta p_x\ge \hbar/2$。
薛定谔方程决定波函数；无限深势阱能级 $E_n=n^2h^2/(8mL^2)$。

与数学工具的联系

复数：波函数常用复指数 $\psi\sim e^{i(kx-\omega t)}$ 表示。
微分方程：薛定谔方程是二阶线性偏微分方程，需边界条件定本征值。
概率统计：$|\psi|^2$ 是概率密度，需归一化 $\int|\psi|^2 dV=1$。