原子与原子核物理

本章目标

掌握氢原子玻尔模型的能级公式与跃迁发光规律。
会用里德伯公式计算氢光谱各谱线系的波长。
了解四个量子数与电子壳层结构。
理解质量亏损与结合能 $B=\Delta m c^2$。
掌握指数衰变律与半衰期，了解裂变与聚变。

一句话核心提示：原子与原子核把「量子化能级」与「质能等价」推向了物质结构的最深处。

一、氢原子玻尔模型与能级

玻尔在卢瑟福核式模型基础上引入定态与跃迁两条量子化假设，成功解释氢光谱。氢原子（或类氢离子）的能级为：

氢原子能级 $$E_n = -\frac{13.6}{n^2}\,\text{eV},\qquad n=1,2,3,\dots$$

基态 $n=1$ 能量最低（$-13.6\,\text{eV}$），随 $n$ 增大能级升高并趋近 0（电离限）。电子从第 $n_2$ 能级跃迁到第 $n_1$ 能级（$n_2>n_1$）时辐射光子，能量 $h\nu = E_{n_2}-E_{n_1}$。

玻尔模型对单电子系统精确，对多电子原子只是半经典近似，但能级量子化的观念被量子力学继承。

二、光谱系（里德伯公式）

氢原子不同跃迁集合形成分立的谱线系。波长由里德伯公式给出：

里德伯公式 $$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right),\qquad n_2 > n_1 = 1,2,3,\dots$$

其中 $R\approx 1.097\times10^{7}\,\text{m}^{-1}$ 为里德伯常数。常见谱线系：

莱曼系：$n_1=1$，$n_2=2,3,\dots$（紫外）；
巴耳末系：$n_1=2$，$n_2=3,4,\dots$（可见光，含 Hα、Hβ…）；
帕邢系：$n_1=3$（红外）；其后还有布拉开、普丰德系。

三、量子数与原子的电子壳层

量子力学中，原子中电子的状态由四个量子数完全确定：

主量子数 $n=1,2,\dots$：决定主要能量与壳层（K, L, M…）。
角量子数 $l=0,1,\dots,n-1$：决定轨道角动量（s,p,d,f…）。
磁量子数 $m_l=-l,\dots,l$：决定角动量空间取向。
自旋量子数 $m_s=\pm\frac12$：电子内禀自旋。

由泡利不相容原理（同一原子中不能有两个电子四个量子数全同）与能量最低原理，电子按壳层、支壳层排布，形成元素周期表的结构基础。

四、原子核组成、质量亏损与结合能

原子核由质子（电荷 $+e$，质量 $m_p$）与中子（电中性，质量 $m_n$）组成，记作 $^A_Z\mathrm{X}$（$Z$ 为质子数，$A$ 为核子数）。原子核质量小于其核子质量之和，差额称质量亏损 $\Delta m$。

结合能 $$B = \Delta m\, c^2 = \left(Z m_p + (A-Z) m_n - M_{\text{核}}\right)c^2$$

结合能是把核拆成自由核子所需能量，反映核的束缚强弱。常用比结合能 $B/A$ 衡量稳定性：铁峰附近 $B/A$ 最大、核最稳定；轻核与重核的比结合能较小，故聚变（轻核→较重核）与裂变（重核→中等核）都释放能量。

五、放射性衰变与指数衰变律

不稳定核自发放出 α（氦核）、β（电子或正电子）或 γ（高能光子）射线而转变，称放射性衰变。衰变是随机过程，但大量原子核的存量服从指数规律：

指数衰变律 $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

其中 $\lambda$ 为衰变常数。半衰期 $T_{1/2}$ 是存量减半所需时间，与 $\lambda$ 满足：

半衰期 $$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

平均寿命 $\tau = 1/\lambda$。活度 $A = -\dfrac{dN}{dt} = \lambda N$ 同样按指数衰减。放射性同位素用于测年（如¹⁴C）、医学显像与治疗。

六、裂变与聚变

核裂变：重核（如 $^{235}\mathrm{U}$）吸收中子后分裂为两个中等质量核并释放中子与大量能量（每次约 200 MeV），链式反应可用于核电站与原子弹。

核聚变：轻核（如氘 $^2\mathrm{H}$、氚 $^3\mathrm{H}$）结合成较重核（如 $^4\mathrm{He}$）释放更巨能量，是太阳与恒星的能源；受控聚变（托卡马克、惯性约束）是未来清洁能源方向。

裂变与聚变的能量来源都是比结合能曲线：使核子组合向 $B/A$ 更大的稳定区移动，多余质量转化为能量 $E=\Delta m c^2$。

七、动态示意：放射性衰变

下方模拟 150 个放射性原子核（绿=存活，粉=已衰变）。每个时刻每个核以概率衰变，整体存活数随时间按 $N=N_0e^{-\lambda t}$ 下降。拖动「半衰期」滑块改变衰变速率，点击「暂停/播放」与「重置」控制。可见存活数曲线近似指数衰减，且每经过一个半衰期数量减半——正是 $T_{1/2}=\ln2/\lambda$ 的随机体现。

半衰期 (任意单位)

提示：单个核何时衰变完全随机，但大量核的统计平均严格服从指数律——微观随机、宏观确定，这正是统计思想的再次体现。

例题

例题 1（氢原子跃迁发光波长）

氢原子从 $n_2=3$ 跃迁到 $n_1=2$（巴耳末系 Hα），求所发光的波长。（取 $R=1.097\times10^{7}\,\text{m}^{-1}$）

解： $$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.097\times10^{7}\times\left(\frac14 - \frac19\right) = 1.097\times10^{7}\times\frac{5}{36} \approx 1.523\times10^{6}\,\text{m}^{-1},$$ $$\lambda \approx \frac{1}{1.523\times10^{6}} \approx 6.56\times10^{-7}\,\text{m} = 656\,\text{nm}\,(\text{红光}).$$

例题 2（由半衰期求衰变常数）

某放射性核素半衰期 $T_{1/2} = 5.0\,\text{d}$，求衰变常数 $\lambda$ 与平均寿命 $\tau$。

解： $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5.0} = 0.139\,\text{d}^{-1},\qquad \tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.139} \approx 7.2\,\text{d}.$$

本章小结

氢原子能级 $E_n=-13.6/n^2\,\text{eV}$；跃迁发光 $h\nu=E_{n_2}-E_{n_1}$。
里德伯公式 $1/\lambda=R(1/n_1^2-1/n_2^2)$ 给出各谱线系（莱曼、巴耳末…）。
四量子数 $n,l,m_l,m_s$ 确定电子态；泡利原理决定壳层排布。
结合能 $B=\Delta m c^2$；比结合能铁峰最大。
指数衰变 $N=N_0e^{-\lambda t}$，半衰期 $T_{1/2}=\ln2/\lambda$。
裂变与聚变都因向更高 $B/A$ 区移动而释能。