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刚体力学
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本章目标

  • 掌握转动运动学：角位移、角速度、角加速度及其与平动的类比。
  • 理解转动惯量 $I = \displaystyle\int r^2\,dm$ 与平行轴定理。
  • 掌握转动定律 $\tau = I\alpha$，类比牛顿第二定律。
  • 掌握角动量 $\vec L = I\vec\omega$ 与角动量守恒定律，并理解其应用（收臂加速）。

一、刚体与转动运动学

刚体是各点间相对距离不变的理想物体。绕固定轴的转动用角量描述：

$$\omega = \frac{d\theta}{dt},\qquad \alpha = \frac{d\omega}{dt}$$

匀角加速转动与匀加速直线运动的公式完全对应：

$$\omega = \omega_0 + \alpha t,\quad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac12\alpha t^2,\quad \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta-\theta_0)$$

刚体上距轴 $r$ 的质点，线量与角量关系为 $v = r\omega,\; a_t = r\alpha,\; a_n = r\omega^2$。

二、转动惯量

转动惯量是物体「转动惯性」的量度，取决于质量大小及其相对于转轴的分布：

转动惯量 $$I = \int r^2\,dm$$

质量离轴越远，$I$ 越大。常见结果：细杆绕端 $I=\dfrac13mL^2$，绕中心 $I=\dfrac1{12}mL^2$；均匀圆盘绕中心轴 $I=\dfrac12mR^2$。

平行轴定理 $$I = I_{\text{cm}} + md^2$$

三、力矩与转动定律

力对转轴的力矩（转矩）为

$$\tau = rF\sin\varphi = r_\perp F$$

方向由右手定则确定。合外力矩产生角加速度，类比牛顿第二定律：

转动定律 $$\tau = I\alpha$$

这正是「转动版 $\vec F = m\vec a$」——力矩对应力，转动惯量对应质量。

四、角动量与角动量守恒

刚体绕固定轴的角动量

$$L = I\omega$$

其与力矩的关系为

$$\tau = \frac{dL}{dt}$$

若系统所受合外力矩为零，则角动量守恒：

角动量守恒 $$L = \text{const} \quad (\tau_{\text{外}} = 0)$$

典型例子：旋转凳上的人收臂时 $I$ 减小，$\omega$ 必增大以保持 $L$ 不变——这正是下方交互模拟演示的现象。注意收臂过程人对自己做功，转动动能 $E_k = \dfrac{L^2}{2I}$ 反而增大。

五、刚体动能与滚动

绕固定轴转动的动能

$$E_k^{\text{rot}} = \frac12 I\omega^2$$

滚动无滑动时，质心平动与绕质心转动耦合：接触点瞬时静止，满足 $v = \omega R$。总动能为平动与转动之和：

$$E_k = \frac12 mv^2 + \frac12 I_{\text{cm}}\omega^2 = \frac12\left(m + \frac{I_{\text{cm}}}{R^2}\right)v^2$$

例如均匀实心球 $I_{\text{cm}}=\dfrac25 mR^2$，沿斜面滚下比纯滑动慢，因部分重力势能转化为转动能。

六、动态示意：角动量守恒

下方为交互模拟。拖动「手臂伸展」滑块改变转动惯量 $I$，观察角速度 $\omega$ 随之反比变化（$L$ 保持恒定）；点击「暂停」可定格比较不同姿态下的 $I,\omega,E_k$。收臂时 $I$ 减小、$\omega$ 增大，但 $L$ 不变。

提示：收臂后虽然转得更快，但转动动能 $E_k = L^2/(2I)$ 反而增大——多出的能量来自收臂时人克服「离心趋势」所做的功。

例题（收臂加速）

例题

一人站在可自由转动的凳上，初始张开双臂转动惯量 $I_1 = 2.0\,\text{kg·m}^2$、角速度 $\omega_1 = 1.5\,\text{rad/s}$；收臂后 $I_2 = 0.80\,\text{kg·m}^2$。求收臂后角速度。

解：合外力矩为零，角动量守恒 $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$， $$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1 = \frac{2.0}{0.80}\times 1.5 = 3.75\,\text{rad/s}.$$ 转动动能由 $\frac12 I_1\omega_1^2 = 2.25\,\text{J}$ 增至 $\frac12 I_2\omega_2^2 = 5.625\,\text{J}$——差值来自收臂时人做的功。

本章小结

  • 转动运动学与平动公式一一对应，$\omega=d\theta/dt,\;\alpha=d\omega/dt$。
  • 转动惯量 $I=\int r^2 dm$，平行轴定理 $I=I_{\text{cm}}+md^2$。
  • 转动定律 $\tau = I\alpha$（力矩版牛顿第二定律）。
  • 角动量 $L=I\omega$；合外力矩为零时 $L$ 守恒。
  • 滚动无滑动 $v=\omega R$，总动能含平动与转动两部分。

与数学工具的联系

  • 积分：转动惯量 $I=\int r^2 dm$ 是质量关于轴的二阶矩。
  • 导数：$\tau=dL/dt$ 是角动量对时间的导数。
  • 类比与代数：转动量和平动量成严格对偶（$m\!\leftrightarrow\!I,\;v\!\leftrightarrow\!\omega,\;F\!\leftrightarrow\!\tau,\;p\!\leftrightarrow\!L$），善用类比可快速迁移结论。