本章目标
- 能用导数语言描述位置、速度、加速度（运动学）。
- 理解牛顿三大定律的物理含义与适用条件。
- 掌握常见力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）的定量表达。
- 会做连接体、圆周运动等典型问题的受力分析与数值计算。
一、质点运动学：先描述运动
物理图景：把物体简化为「质点」（有质量、无大小），用一条位置矢量 $\vec r(t)$ 描述它在空间中的轨迹。运动学只关心「怎么动」，不追究「为什么动」。
1.1 位移、速度、加速度
- 位移：$\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1$
- 瞬时速度：$\vec v = \dfrac{d\vec r}{dt}$
- 瞬时加速度：$\vec a = \dfrac{d\vec v}{dt} = \dfrac{d^2\vec r}{dt^2}$
在直线上做匀加速运动时：
$$v = v_0 + at,\qquad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2,\qquad v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)$$
1.2 圆周运动与向心加速度
匀速率圆周运动中，速度大小不变但方向不断改变，因此存在指向圆心的向心加速度：
$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r,\qquad v = \omega r$$
其中 $\omega$ 为角速度（单位 $\text{rad/s}$），$r$ 为轨道半径。注意：向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小。
二、牛顿三大定律
第一定律（惯性定律）：若无外力作用，物体保持静止或匀速直线运动。
$$\sum \vec F = 0 \;\Longrightarrow\; \vec v = \text{常矢量}$$
物理图景：惯性是物体「不愿改变运动状态」的属性，质量是惯性的量度。
第二定律（动力学核心）：物体所受合外力等于质量乘以加速度。
牛顿第二定律
$$\vec F_{\text{合}} = m\vec a$$
在恒定质量下与动量形式等价：$\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt},\quad \vec p = m\vec v$。这是经典力学的定量基石，SI 单位中 $1\,\text{N} = 1\,\text{kg·m/s}^2$。
第三定律（作用与反作用）：两物体间的作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上。
$$\vec F_{12} = -\vec F_{21}$$
三、常见力与受力分析
| 力的种类 | 定量表达 | 说明 |
|---|---|---|
| 重力 | $\vec G = m\vec g$ | 近地 $g\approx 9.80\,\text{m/s}^2$ |
| 弹簧弹力 | $F = -kx$ | 胡克定律，$x$ 为形变量 |
| 滑动摩擦力 | $f_k = \mu_k N$ | $N$ 为正压力，$\mu_k$ 为动摩擦因数 |
| 万有引力 | $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ | $G\approx 6.67\times10^{-11}\,\text{N·m}^2/\text{kg}^2$ |
物理图景：受力分析的正确顺序是「重力 → 接触力（弹、摩）→ 其他场力」，并画出隔离体受力图（free-body diagram）。
四、典型问题：连接体与圆周运动
- 连接体：分别隔离各物体列牛顿第二定律，再联立求解绳张力、加速度。
- 圆周运动：指向圆心的合外力提供向心力，即 $\sum F_{\text{向}} = m\dfrac{v^2}{r}$。
圆周运动中「向心力」不是一种新的力，而是其他力（重力、张力、支持力等）在指向圆心方向的合力分量。
例题1（匀加速直线运动）
例题1
一汽车以 $v_0 = 20\,\text{m/s}$ 行驶，急刹车后获得恒定加速度 $a = -5.0\,\text{m/s}^2$，求刹车距离与停下所需时间。
解：由 $v = v_0 + at$，停下时 $v=0$：
$$t = \frac{0 - 20}{-5.0} = 4.0\,\text{s}$$
由 $v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)$：
$$x - x_0 = \frac{0 - 20^2}{2(-5.0)} = \frac{-400}{-10} = 40\,\text{m}$$
答：刹车距离 $40\,\text{m}$，耗时 $4.0\,\text{s}$。
例题2（圆周运动的向心力）
例题2
质量 $m = 0.50\,\text{kg}$ 的小球系于长 $L = 1.0\,\text{m}$ 的轻绳一端，在竖直平面内做圆周运动，最高点时速度 $v = 3.0\,\text{m/s}$。求最高点绳的张力。（取 $g=9.8\,\text{m/s}^2$）
解：最高点时重力与绳张力均向下，共同提供向心力：
$$T + mg = m\frac{v^2}{L}$$
$$T = m\frac{v^2}{L} - mg = 0.50\times\frac{3.0^2}{1.0} - 0.50\times 9.8 = 0.50\times 9 - 4.9 = 4.5 - 4.9 = -0.4\,\text{N}$$
张力为负，说明仅靠重力已不足以维持圆周运动（临界速度 $v_c=\sqrt{gL}\approx 3.13\,\text{m/s}$），小球在最高点前已脱离圆周轨迹。答：该速度下绳已松弛，无法在最高点完成圆周运动。
本章小结
- 运动学用导数描述：$v=dr/dt,\; a=dv/dt$。
- 向心加速度 $a_c=v^2/r=\omega^2 r$，方向始终指向圆心。
- 牛顿第二定律 $\vec F=m\vec a$ 是动力学核心，第三定律强调作用力成对出现。
- 万有引力 $F=Gm_1m_2/r^2$ 对所有有质量物体成立。
- 圆周运动中指向圆心的合外力等于 $mv^2/r$。
与数学工具的联系
- 微积分：速度是位置的一阶导数，加速度是二阶导数；变加速运动需解微分方程。
- 向量：$\vec r,\vec v,\vec a,\vec F$ 均为向量，需在不同坐标系中分解（直角坐标系、极坐标）。
- 三角函数：斜面上重力分解 $G_x=mg\sin\theta,\; G_y=mg\cos\theta$。