本章目标
- 用矢量与导数语言描述质点的位置、位移、速度与加速度。
- 掌握匀变速直线运动的三个核心公式及其适用条件。
- 理解抛体运动水平、竖直两方向独立运动的叠加原理。
- 区分圆周运动中的向心加速度与切向加速度。
- 会用伽利略速度变换处理相对运动问题。
核心提示：运动学只回答「怎么动」，不追究「为什么动」；一切瞬时量都是对时间的导数。
一、位置矢量与位移
把物体抽象为「质点」（有质量、无大小），用位置矢量 $\vec r(t)$ 标定它在空间中的坐标：
$$\vec r = x\,\hat i + y\,\hat j + z\,\hat k$$
一段时间内的位移是末末位置矢量之差（注意位移是矢量，与路径长度不同）：
$$\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1$$
位移的大小 $|\Delta\vec r|$ 一般小于实际路程 $s$，只有当单向直线运动时两者才相等。
二、速度与加速度
平均速度是位移对时间的平均：
$$\vec{\bar v} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}$$
令 $\Delta t\to 0$，得到瞬时速度——位置矢量对时间的一阶导数：
$$\vec v = \frac{d\vec r}{dt}$$
同理，加速度是速度对时间的一阶导数，即位置对时间的二阶导数：
$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2}$$
导数思想是关键：速度=位置的变化率，加速度=速度的变化率。这正是微积分在物理中的首次登场。
三、直线运动（匀变速）
加速度恒定的直线运动中，对 $\vec a = \text{const}$ 积分可得三个常用公式（设 $x_0=0$）：
$$v = v_0 + at,\qquad x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2,\qquad v^2 - v_0^2 = 2ax$$
- 第一式描述速度随时间变化（由 $a=\frac{dv}{dt}$ 积分）。
- 第二式描述位移随时间变化（由 $v=\frac{dx}{dt}$ 积分）。
- 第三式消去时间 $t$，给出速度与位移的直接关系。
其中 $a\gt0$ 表示加速，$a\lt0$ 表示减速（如竖直上抛的重力加速度取负）。
四、抛体运动
以初速 $\vec v_0$ 与水平夹角 $\theta$ 抛出，不计空气阻力时，重力仅在竖直方向作用，因此两个方向独立：
$$x = v_0\cos\theta\; t,\qquad y = v_0\sin\theta\; t - \frac{1}{2}gt^2$$
水平方向匀速，竖直方向匀变速（加速度 $-g$）。消去 $t$ 得轨迹方程——一条抛物线：
$$y = x\tan\theta - \frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$
最大射高 $H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$，水平射程 $R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}$（落回同高度时），在 $\theta=45^\circ$ 射程最大。
五、圆周运动
用角速度 $\omega$ 描述转动快慢，与线速度 $v$ 关系为 $v=\omega r$。圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
$$v = \omega r,\qquad a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$
- 向心（法向）加速度 $a_n$：改变速度方向，始终指向圆心，大小 $a_n=v^2/r$。
- 切向加速度 $a_t$：改变速度大小，$a_t = \dfrac{dv}{dt}=r\alpha$（$\alpha$ 为角加速度）。
总加速度大小 $a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}$。当 $a_t=0$ 时为匀速率圆周运动，仅存在向心加速度。
注意：凡速度方向改变之处必有加速度——圆周运动即使速率不变也有向心加速度。
六、相对运动
在不同参考系中观测同一物体的速度不同。设地面系 $S$、运动系 $S'$（相对地面以速度 $\vec u$ 平移），则被测物体的速度满足伽利略速度变换：
$$\vec v = \vec v' + \vec u$$
其中 $\vec v$ 为物体相对地面的速度，$\vec v'$ 为相对运动系的速度，$\vec u$ 为运动系相对地面的速度。依次对时间求导可得加速度关系 $\vec a = \vec a' + \vec a_u$（低速下 $\vec a=\vec a'$）。
例：雨滴竖直下落，车窗上看到的雨痕向后倾斜，就是因为车上观测到 $\vec v'=\vec v_{\text{雨}}-\vec v_{\text{车}}$。
七、动态示意：抛体运动
下方交互模拟中，拖动「发射角」滑块改变 $\theta$，观察射程与最大高度如何变化；拖动「初速度」滑块调节 $v_0$，射程与高度整体放大。点击「暂停」可定格比较不同参数下的轨迹。理论最优角约 $45^\circ$（同高度落地）。
提示：固定初速时，射程 $R\propto\sin2\theta$ 在 $45^\circ$ 取最大；提高初速 $v_0$ 会使 $R$ 与 $H$ 近似按 $v_0^2$ 增长。
例题1（匀变速求位移）
一汽车以初速 $v_0 = 12\,\text{m/s}$ 匀减速刹车，加速度 $a=-3.0\,\text{m/s}^2$。求刹车后 $5\,\text{s}$ 内的位移，并判断车是否已停下。
解： 先求停车时间 $t_s$：由 $v=v_0+at=0$，
$$t_s = -\frac{v_0}{a} = -\frac{12}{-3.0} = 4.0\,\text{s}.$$
车在 $4\,\text{s}$ 已停下，$5\,\text{s}$ 内实际位移等于 $4\,\text{s}$ 位移：
$$x = v_0 t_s + \frac{1}{2}a t_s^2 = 12\times 4.0 + \frac{1}{2}(-3.0)(4.0)^2 = 48 - 24 = 24\,\text{m}.$$
注意： 若直接代入 $t=5$ 会得负值（车已倒退），故应先判断停车时间。
例题2（圆周运动向心加速度）
一质点沿半径 $r=2.0\,\text{m}$ 的圆周匀速运动，速率 $v=10\,\text{m/s}$。求向心加速度；若角速度加倍而半径不变，向心加速度变为多少？
解： 由 $a_n=v^2/r$，
$$a_n = \frac{10^2}{2.0} = 50\,\text{m/s}^2.$$
角速度加倍即 $v=\omega r$ 也加倍为 $20\,\text{m/s}$，故
$$a_n' = \frac{20^2}{2.0} = 200\,\text{m/s}^2,$$
即变为原来的 $4$ 倍（因 $a_n\propto \omega^2$）。
本章小结
- 瞬时速度 $\vec v=d\vec r/dt$，加速度 $\vec a=d\vec v/dt$（导数语言）。
- 匀变速直线：$v=v_0+at,\ x=v_0t+\frac12at^2,\ v^2-v_0^2=2ax$。
- 抛体运动水平、竖直独立，轨迹为抛物线，最佳发射角约 $45^\circ$。
- 圆周运动：$v=\omega r$，$a_n=v^2/r=\omega^2 r$，另有切向加速度 $a_t$。
- 相对运动：$\vec v=\vec v'+\vec u$（伽利略速度变换）。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。