本章目标
- 理解粘性，掌握牛顿内摩擦定律 $\tau = \mu\,\dfrac{du}{dy}$。
- 掌握雷诺数 $\mathrm{Re} = \dfrac{\rho v L}{\mu}$ 的物理意义。
- 区分层流与湍流，了解临界雷诺数。
- 掌握圆管层流的泊肃叶定律，理解流量与管径的四次方关系。
一、粘性（牛顿内摩擦定律）
当流体层之间有相对滑动时，会产生阻碍相对运动的切向应力（内摩擦力）。对牛顿流体：
牛顿内摩擦定律
$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$
$\tau$ 为切应力，$\mu$ 为动力粘度，$du/dy$ 为速度梯度。粘度是流体「粘稠程度」的度量，随温度升高而减小（气体相反）。
二、雷诺数
流动形态由各惯性力与粘性力的竞争决定，用无量纲的雷诺数刻画：
雷诺数
$$\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$$
$\nu = \mu/\rho$ 为运动粘度，$L$ 为特征长度（如管径）。$\mathrm{Re}$ 大 → 惯性主导 → 湍流；$\mathrm{Re}$ 小 → 粘性主导 → 层流。
圆管流动的临界值约为 $\mathrm{Re}_c \approx 2300$：低于它多为层流，高于它多为湍流。
三、层流与湍流
- 层流：流线平行、分层滑动，相邻层无宏观混合，噪声低、阻力与流速线性相关。
- 湍流：出现随机涡旋与强烈混合，阻力急剧上升（约与 $v^2$ 相关），传热传质显著增强。
四、泊肃叶定律（圆管层流）
水平圆管中牛顿流体作定常层流时，体积流量与压强梯度、管径的关系为：
泊肃叶定律
$$Q = \frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}$$
即流量正比于管径的四次方——管径微增即可大幅提升流量，这也是人体小血管阻力极高的原因。
动态示意：层流 vs 湍流
点击下方按钮一键切换「层流 / 湍流」，对比整齐流线与混沌涡旋的直观差异。层流时粒子按抛物线速度剖面分层滑动；湍流时粒子随机扰动、出现涡旋。
提示：真实流动从层流到湍流存在转捩区；工程中常以临界雷诺数 $\mathrm{Re}_c\approx 2300$（圆管）作为判据。
例题（雷诺数判据）
例题
$20^\circ\text{C}$ 的水（$\rho=998\,\text{kg/m}^3$，$\mu=1.0\times10^{-3}\,\text{Pa·s}$）在内径 $d=2\,\text{cm}$ 管中以 $v=0.5\,\text{m/s}$ 流动，判断流态。
解：特征长度 $L = d = 0.02\,\text{m}$，
$$\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\mu}
= \frac{998\times 0.5\times 0.02}{1.0\times10^{-3}} \approx 9.98\times10^{3} > 2300.$$
故为湍流。
本章小结
- 牛顿内摩擦定律 $\tau = \mu\,du/dy$，粘度 $\mu$ 描述流体粘性。
- 雷诺数 $\mathrm{Re} = \rho v L/\mu$ 决定流态；圆管临界约 $2300$。
- 层流分层有序，湍流含涡旋、混合强、阻力大。
- 泊肃叶定律 $Q = \pi R^4\Delta p/(8\mu L)$，流量 $\propto R^4$。
与数学工具的联系
- 微积分 / 偏微分：粘性流动由纳维–斯托克斯方程描述，是耦合的非线性偏微分方程组。
- 无量纲分析：雷诺数体现量纲齐次与缩放规律。
- 梯度与导数：速度梯度 $du/dy$ 是导数；管流速度剖面为抛物线（泊肃叶解）。