§1
真实流体有「粘」的一面。本章引入粘性、雷诺数，并区分两种根本不同的流动形态。
本章目标
- 理解粘性，掌握牛顿内摩擦定律 $\tau = \mu\,\dfrac{du}{dy}$。
- 掌握雷诺数 $\mathrm{Re} = \dfrac{\rho v L}{\mu}$ 的物理意义。
- 区分层流与湍流，了解临界雷诺数。
- 掌握圆管层流的泊肃叶定律，理解流量与管径的四次方关系。
一、粘性（牛顿内摩擦定律）
当流体层之间有相对滑动时，会产生阻碍相对运动的切向应力（内摩擦力）。对牛顿流体：
$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$
$\tau$ 为切应力，$\mu$ 为动力粘度，$du/dy$ 为速度梯度。粘度是流体「粘稠程度」的度量，随温度升高而减小（气体相反）。
平行板间的粘性阻力（例题） 间距 $d=2.0\,\text{mm}$ 的两平行板间充满硅油（$\mu=0.10\,\mathrm{Pa\cdot s}$），下板固定、上板面积 $A=0.10\,\text{m}^2$ 以 $u=0.50\,\text{m/s}$ 匀速拖动。求所需拉力。
解： 速度梯度近似 $\dfrac{du}{dy}\approx \dfrac{u}{d}$，切应力
$$\tau = \mu\frac{u}{d} = 0.10\times\frac{0.50}{2.0\times10^{-3}} = 25\,\text{Pa}.$$
所需拉力 $F = \tau A = 25\times 0.10 = 2.5\,\text{N}$。
二、雷诺数
流动形态由各惯性力与粘性力的竞争决定，用无量纲的雷诺数刻画：
$$\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$$
$\nu = \mu/\rho$ 为运动粘度，$L$ 为特征长度（如管径）。$\mathrm{Re}$ 大 → 惯性主导 → 湍流；$\mathrm{Re}$ 小 → 粘性主导 → 层流。
圆管流动的临界值约为 $\mathrm{Re}_c \approx 2300$：低于它多为层流，高于它多为湍流。
三、层流与湍流
- 层流：流线平行、分层滑动，相邻层无宏观混合，噪声低、阻力与流速线性相关。
- 湍流：出现随机涡旋与强烈混合，阻力急剧上升（约与 $v^2$ 相关），传热传质显著增强。
二者对比如下：
| 特征 | 层流 | 湍流 |
|---|---|---|
| 流线形态 | 平行、分层 | 混沌、涡旋 |
| 宏观混合 | 几乎无 | 强烈 |
| 阻力随流速 | $\propto v$ | $\propto v^2$（近似） |
| 噪声 | 低 | 高 |
| 圆管临界 | $\mathrm{Re}\lt 2300$ | $\mathrm{Re}\gt 2300$ |
章节页面的交互模拟可一键切换「层流 / 湍流」，对比整齐流线与混沌涡旋的直观差异。
四、泊肃叶定律（圆管层流）
水平圆管中牛顿流体作定常层流时，体积流量与压强梯度、管径的关系为：
$$Q = \frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}$$
即流量正比于管径的四次方——管径微增即可大幅提升流量，这也是人体小血管阻力极高的原因。
推导（力平衡法）
考虑半径为 $r$、厚 $dr$ 的同轴圆柱壳，长度 $L$。两端压强差 $\Delta p$ 产生的净推力为 $\Delta p\cdot\pi r^2$；壳侧面粘性阻力为 $\tau(r)\cdot 2\pi r L = \mu\left|\dfrac{du}{dr}\right|2\pi r L$。定常时二者平衡：
$$\Delta p\,\pi r^2 = \mu\frac{du}{dr}\,2\pi r L \;\Rightarrow\; \frac{du}{dr} = \frac{\Delta p}{2\mu L}\,r.$$
由管壁 $u(R)=0$ 积分得抛物线速度剖面：
$$u(r) = \frac{\Delta p}{4\mu L}\left(R^2 - r^2\right).$$
流量为速度剖面在截面上的积分：
$$Q = \int_0^R u(r)\,2\pi r\,dr = \frac{\pi\Delta p}{2\mu L}\int_0^R (R^2-r^2)r\,dr = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\mu L}.$$
例题（泊肃叶流量计算）
水（$\mu=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}$）流过半径 $R=1.0\,\text{mm}$、长 $L=1.0\,\text{m}$ 的水平毛细管，两端压强差 $\Delta p=1.0\times10^{3}\,\text{Pa}$。求体积流量与管中心最大流速。
解：
$$Q = \frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L} = \frac{\pi(1.0\times10^{-3})^4\times 1.0\times10^{3}}{8\times1.0\times10^{-3}\times 1.0} \approx 3.9\times10^{-7}\,\text{m}^3/\text{s}.$$
中心最大流速（令 $r=0$）：
$$u_{\max} = \frac{\Delta p\,R^2}{4\mu L} = \frac{1.0\times10^{3}\times(1.0\times10^{-3})^2}{4\times1.0\times10^{-3}\times1.0} = 0.25\,\text{m/s}.$$
例题（雷诺数判据）
$20^\circ\text{C}$ 的水（$\rho=998\,\mathrm{kg/m^3}$，$\mu=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}$）在内径 $d=2\,\text{cm}$ 管中以 $v=0.5\,\text{m/s}$ 流动，判断流态。
解： 特征长度 $L = d = 0.02\,\text{m}$，
$$\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{998\times 0.5\times 0.02}{1.0\times10^{-3}} \approx 9.98\times10^{3} \gt 2300.$$
故为湍流。
练习
1. 甘油 $\mu=1.5\,\mathrm{Pa\cdot s}$ 在半径 $R=2.0\,\text{mm}$、长 $L=0.5\,\text{m}$ 的管中，两端 $\Delta p=2.0\times10^{3}\,\text{Pa}$，求流量 $Q$。
- 提示：$Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)$。答案约 $8.4\times10^{-8}\,\text{m}^3/\text{s}$。
2. 上一题中管中心最大流速是多少？平均流速 $\bar v=Q/(\pi R^2)$ 又是多少？二者有何关系？
- 提示：$u_{\max}=\Delta p R^2/(4\mu L)=0.67\,\text{m/s}$；抛物线剖面下 $\bar v = u_{\max}/2$。
3. 空气 $\rho=1.2\,\mathrm{kg/m^3}$、$\mu=1.8\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}$ 以 $v=10\,\text{m/s}$ 流过直径 $d=0.1\,\text{m}$ 的管道，判断流态。
- 提示：$\mathrm{Re}=\rho v d/\mu\approx 6.7\times10^{4}\gg 2300$，湍流。
4. 若把第 1 题的管半径加倍（其他不变），流量变为原来的几倍？
- 提示：$Q\propto R^4$，故为 $2^4=16$ 倍。
本章小结
- 牛顿内摩擦定律 $\tau = \mu\,du/dy$，粘度 $\mu$ 描述流体粘性。
- 雷诺数 $\mathrm{Re} = \rho v L/\mu$ 决定流态；圆管临界约 $2300$。
- 层流分层有序，湍流含涡旋、混合强、阻力大。
- 泊肃叶定律 $Q = \pi R^4\Delta p/(8\mu L)$，速度剖面为抛物线，流量 $\propto R^4$。
与数学工具的联系
- 微积分 / 偏微分：粘性流动由纳维–斯托克斯方程描述，是耦合的非线性偏微分方程组；泊肃叶解来自常微分方程的积分。
- 无量纲分析：雷诺数体现量纲齐次与缩放规律。
- 梯度与导数：速度梯度 $du/dy$ 是导数；管流速度剖面为抛物线（泊肃叶解）。
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