本章目标
- 掌握流体静力学压强公式 $p = p_0 + \rho g h$ 与帕斯卡原理。
- 理解并运用连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$。
- 掌握伯努利方程 $p + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$，并能解释文丘里效应。
- 建立「理想流体」模型（不可压缩、无粘性）的适用条件直觉。
一、流体静力学
静止流体内部任一点压强各向同性，且随深度线性增加：
静力学压强
$$p = p_0 + \rho g h$$
$\rho$ 为密度，$h$ 为距自由液面的深度。由此推出帕斯卡原理：密闭流体一处压强变化，将大小不变地传遍各处（液压机原理）。
二、连续性方程
对不可压缩理想流体的定常流动，单位时间内流过任一截面的体积流量守恒：
连续性方程
$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$$
即管道变窄处流速必增大。这是质量守恒在流体中的直接体现。
三、伯努利方程
沿一条流线，对理想流体（无粘性、不可压缩、定常）有机械能守恒：
伯努利方程（沿流线）
$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$$
三项分别为压强能、动能、重力势能（均以单位体积计）。重要推论：
- 文丘里效应：水平管收窄处流速增大，则压强降低（$p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const}$）。
- 空速管 / 流量计：正是利用压强差反推流速。
四、动态示意
1. 连续性方程
变截面管道中粒子在窄处明显加速，直观验证 $A v = \text{const}$（窄处变粉红表示流速更高）。
2. 伯努利 / 文丘里
窄处粒子加速的同时，测压管液柱变矮——压强下降，演示「越快越低（压强越小）」。
提示：理想流体无粘性，伯努利方程严格成立；真实流体需考虑粘性损失，测压管高度差会略小于理论值。
例题（文丘里流量计）
例题
水平水管宽处截面积 $A_1 = 40\,\text{cm}^2$、流速 $v_1 = 1.0\,\text{m/s}$，窄处 $A_2 = 10\,\text{cm}^2$。求窄处流速与两侧压强差（水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$）。
解：由连续性方程
$$v_2 = \frac{A_1}{A_2}v_1 = \frac{40}{10}\times 1.0 = 4.0\,\text{m/s}.$$
由水平伯努利方程（同一高度）
$$p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right)
= \frac{1}{2}\times1000\times(16 - 1) = 7.5\times10^{3}\,\text{Pa}.$$
本章小结
- 静止流体压强 $p = p_0 + \rho g h$，帕斯卡原理源于压强各向同性传递。
- 连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ 是质量守恒（不可压缩）。
- 伯努利方程 $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$ 是沿流线的机械能守恒。
- 文丘里效应：同一高度下流速大则压强小。
与数学工具的联系
- 微积分：真实粘性流用纳维–斯托克斯方程（偏微分方程）；流量是速度场的面积分 $Q=\iint \vec v\cdot d\vec A$。
- 代数：连续性方程与伯努利方程联立求解未知流速 / 压强。
- 向量：流速场 $\vec v(x,y,z)$ 是向量场，散度 $\nabla\cdot\vec v=0$ 表达不可压缩。