§1
从「静止的流体」到「运动的流体」：用连续性方程与伯努利方程定量描述流速、压强与高度的关系。
本章目标
- 掌握流体静力学压强公式 $p = p_0 + \rho g h$ 与帕斯卡原理。
- 理解阿基米德浮力 $F_b = \rho_f g V$ 的推导与浮沉条件。
- 理解并运用连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$。
- 掌握伯努利方程 $p + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$，并能解释文丘里效应。
- 建立「理想流体」模型（不可压缩、无粘性）的适用条件直觉。
一、流体静力学
静止流体内部任一点压强各向同性，且随深度线性增加：
$$p = p_0 + \rho g h$$
$\rho$ 为密度，$h$ 为距自由液面的深度。由此推出帕斯卡原理：密闭流体一处压强变化，将大小不变地传遍各处（液压机原理）。
帕斯卡原理的应用：液压机
密闭连通器两侧活塞面积分别为 $S_1$、$S_2$。在 $S_1$ 上施加力 $F_1$，压强 $p=F_1/S_1$ 传遍各处，故大活塞受到 $F_2 = p S_2 = F_1 \dfrac{S_2}{S_1}$。以小力搏大力，增益比等于面积比。
阿基米德浮力
完全浸没于静止流体中的物体，受流体各方向压力之合力并不为零。取一高为 $H$、底面积为 $A$ 的竖直柱体，顶面深度 $h_1$、底面深度 $h_2=h_1+H$。顶、底面压强分别为
$$p_1 = p_0 + \rho_f g h_1,\qquad p_2 = p_0 + \rho_f g h_2.$$
顶面向下压力 $p_1 A$，底面向上的压力 $p_2 A$，侧面压力水平抵消，故净向上力
$$F_b = (p_2 - p_1)A = \rho_f g (h_2-h_1)A = \rho_f g H A = \rho_f g V.$$
$V$ 为物体排开流体的体积，于是
$$F_b = \rho_f g V = m_f g,$$
即浮力等于物体排开流体的重量，方向竖直向上（阿基米德原理）。引入物体密度 $\rho_{\text{obj}}$：
- 若 $\rho_{\text{obj}} < \rho_f$，重力小于浮力，物体上浮至漂浮（此时 $V_{\text{disp}} = m_{\text{obj}}/\rho_f$）；
- 若 $\rho_{\text{obj}} = \rho_f$，可悬浮于任意深度；
- 若 $\rho_{\text{obj}} > \rho_f$，下沉。
二、连续性方程
对不可压缩理想流体的定常流动，单位时间内流过任一截面的体积流量守恒：
$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$$
即管道变窄处流速必增大。这是质量守恒在流体中的直接体现。
> 形象理解：把流体想象成不可拉伸的「连续带」，同一时间流过每个截面的体积必须相同，截面越小流速越快。
三、伯努利方程
沿一条流线，对理想流体（无粘性、不可压缩、定常）有机械能守恒：
$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$$
三项分别为压强能、动能、重力势能（均以单位体积计）。
推导（沿流线积分）
在流线上取微元，受压力差与重力做功，由功能原理（或牛顿第二定律沿流线投影）得
$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}ds - g\,dh = v\,dv.$$
其中 $s$ 为流线弧长。注意到 $v\,dv = d(\tfrac12 v^2)$、$g\,dh = d(gh)$，对不可压缩流体 $\rho$ 为常数，整理得
$$d\!\left(p + \frac12\rho v^2 + \rho g h\right) = 0,$$
即沿流线该组合保持不变——这正是伯努利方程。
重要推论
- 文丘里效应：水平管收窄处流速增大，则压强降低（$p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const}$）。
- 空速管 / 流量计：正是利用压强差反推流速。
- 托里拆利定律：大容器侧壁小孔出流速度 $v = \sqrt{2gh}$（见例题）。
四、动态示意
章节页面内置两个交互模拟：
1. 连续性方程：变截面管道中粒子在窄处明显加速，直观验证 $A v = \text{const}$。
2. 伯努利 / 文丘里：窄处粒子加速的同时，测压管液柱变矮——压强下降，演示「越快越低」。
例题（文丘里流量计）
水平水管宽处截面积 $A_1 = 40\,\text{cm}^2$、流速 $v_1 = 1.0\,\text{m/s}$，窄处 $A_2 = 10\,\text{cm}^2$。求窄处流速与两侧压强差（水的密度 $\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$）。
解： 由连续性方程
$$v_2 = \frac{A_1}{A_2}v_1 = \frac{40}{10}\times 1.0 = 4.0\,\text{m/s}.$$
由水平伯努利方程（同一高度）
$$p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right) = \frac{1}{2}\times1000\times(16 - 1) = 7.5\times10^{3}\,\text{Pa}.$$
例题（浮力与浮沉）
一块体积 $V = 2.0\times10^{-2}\,\text{m}^3$ 的木块，密度 $\rho_b = 600\,\mathrm{kg/m^3}$，漂浮于水（$\rho_f = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$）中。求浮力、重力与露出水面的体积。
解： 漂浮时浮力等于重力，故排开水的体积
$$V_{\text{disp}} = \frac{\rho_b}{\rho_f}V = \frac{600}{1000}\times 2.0\times10^{-2} = 1.2\times10^{-2}\,\text{m}^3.$$
浮力（亦即重力）
$$F_b = \rho_f g V_{\text{disp}} = 1000\times 9.8\times 1.2\times10^{-2} = 118\,\text{N}.$$
露出水面体积
$$V_{\text{out}} = V - V_{\text{disp}} = 2.0\times10^{-2} - 1.2\times10^{-2} = 8.0\times10^{-3}\,\text{m}^3.$$
例题（托里拆利水塔出流）
水塔液面高出出水小孔 $h = 10\,\text{m}$，液面流速近似为零，求小孔出流速度。
解： 取液面（点 1）与孔口（点 2），液面处 $v_1\approx 0$，二者均与大气相通 $p_1=p_2=p_0$。由伯努利方程
$$p_0 + \rho g h = p_0 + \frac12\rho v_2^2,$$
消去 $p_0$ 得
$$v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9.8\times 10} \approx 14\,\text{m/s}.$$
这正是托里拆利定律 $v=\sqrt{2gh}$。
练习
1. 海面下深度 $h=30\,\text{m}$ 处，海水密度 $\rho=1025\,\mathrm{kg/m^3}$，大气压 $p_0=1.01\times10^{5}\,\text{Pa}$，求该处压强（取 $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$）。
- 提示：$p = p_0 + \rho g h$，注意单位统一为 $\mathrm{Pa}$。答案约 $4.02\times10^{5}\,\text{Pa}$。
2. 液压机小活塞面积 $S_1=10\,\text{cm}^2$，大活塞 $S_2=500\,\text{cm}^2$，在小活塞上加 $F_1=200\,\text{N}$，求大活塞能顶起的力。
- 提示：$F_2 = F_1 S_2/S_1$。答案 $1.0\times10^{4}\,\text{N}$。
3. 一铁球（$\rho_{\text{Fe}}=7.8\times10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}$）体积 $1.0\times10^{-4}\,\text{m}^3$ 完全浸没于水中，求其视重（即重力减浮力）。
- 提示：$W_{\text{app}} = (\rho_{\text{Fe}}-\rho_f)gV$。答案约 $0.67\,\text{N}$。
4. 水平管道 $A_1=20\,\text{cm}^2$ 处 $v_1=2.0\,\text{m/s}$，收缩到 $A_2=5\,\text{cm}^2$，求 $v_2$ 与压强差 $p_1-p_2$（水 $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$）。
- 提示：先由连续性求 $v_2=8.0\,\text{m/s}$，再伯努利求压差 $3.0\times10^{4}\,\text{Pa}$。
本章小结
- 静止流体压强 $p = p_0 + \rho g h$，帕斯卡原理源于压强各向同性传递。
- 阿基米德浮力 $F_b = \rho_f g V$，浮沉由 $\rho_{\text{obj}}$ 与 $\rho_f$ 的相对大小决定。
- 连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ 是质量守恒（不可压缩）。
- 伯努利方程 $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$ 是沿流线的机械能守恒；托里拆利定律 $v=\sqrt{2gh}$ 为其推论。
- 文丘里效应：同一高度下流速大则压强小。
与数学工具的联系
- 微积分：真实粘性流用纳维–斯托克斯方程（偏微分方程）；流量是速度场的面积分 $Q=\iint \vec v\cdot d\vec A$；伯努利方程由沿流线积分得到。
- 代数：连续性方程与伯努利方程联立求解未知流速 / 压强。
- 向量：流速场 $\vec v(x,y,z)$ 是向量场，散度 $\nabla\cdot\vec v=0$ 表达不可压缩。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。