本章目标
- 掌握功、动能定理与势能的定量关系。
- 理解机械能守恒的成立条件。
- 掌握动量、冲量与动量定理，熟练运用动量守恒。
- 会分析弹性碰撞与非弹性碰撞的能量与动量变化。
一、功与动能定理
物理图景：力在空间上的积累效应叫「功」。做功改变物体的动能。
元功：$dW = \vec F\cdot d\vec r$，一般路径上总功：
动能定理：合外力对质点做的功等于其动能的增量。
其中动能 $K = \dfrac{1}{2}mv^2$（SI 单位：焦耳 J，$1\,\text{J}=1\,\text{N·m}$）。
二、势能：保守力的空间储存
若力做的功与路径无关，仅由初末位置决定，则称其为保守力，可引入势能 $U$：
常见势能：
| 力 | 势能 |
|---|---|
| 重力（近地） | $U_g = mgh$ |
| 万有引力 | $U = -G\dfrac{Mm}{r}$ |
| 弹簧弹力 | $U_s = \dfrac{1}{2}kx^2$ |
非保守力（如摩擦力）做功与路径有关，不能引入势能。
三、机械能守恒
系统的机械能 $E = K + U$。当只有保守内力做功时：
若存在非保守力（如摩擦、外力推动），则 $W_{\text{非保守}} = \Delta E$。
四、动量与冲量、动量定理
物理图景：力在时间上的积累效应叫「冲量」，它改变物体的动量。
冲量：$\vec I = \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt$
动量定理：合外力的冲量等于动量的增量。
质心运动定理指出，系统质心加速度由合外力决定：$\vec F_{\text{合}} = M\vec a_c$。
五、动量守恒
若系统所受合外力为零（或某方向分量为零），则总动量守恒：
动量守恒只要求外力为零，与内力是否保守、机械能是否守恒均无关——这是它比机械能守恒更「强」的原因（碰撞中机械能常不守恒，但动量仍守恒）。
六、碰撞
令两物体质量 $m_1,m_2$，碰前速度 $v_1,v_2$，碰后 $v_1',v_2'$。动量守恒恒成立：
- 弹性碰撞：机械能也守恒，恢复系数 $e=1$。
- 完全非弹性碰撞：碰后共速，机械能损失最大。
例题1（动能定理求速度）
质量 $m=2.0\,\text{kg}$ 的物块从静止沿光滑斜面下滑 $h=5.0\,\text{m}$，求到达底端时的速度。（取 $g=9.8\,\text{m/s}^2$）
例题2（一维弹性碰撞）
质量 $m_1=1.0\,\text{kg}$ 的小球以 $v_1=4.0\,\text{m/s}$ 撞击静止的 $m_2=3.0\,\text{kg}$ 小球，发生一维弹性碰撞。求碰后两球速度。
本章小结
- 动能定理：$W_{\text{合}}=\Delta K = \tfrac12 mv_2^2 - \tfrac12 mv_1^2$。
- 保守力做功与路径无关，可引入势能 $U$，$W_{\text{保守}}=-\Delta U$。
- 机械能守恒条件：只有保守内力做功。
- 动量定理：$\vec I=\int\vec F dt=\Delta \vec p$。
- 合外力为零时动量守恒；碰撞中动量必守恒，机械能未必。
与数学工具的联系
- 积分：变力做功需计算 $\int \vec F\cdot d\vec r$。
- 向量投影：冲量与动量均为向量，需用分量法处理二维碰撞。
- 代数联立：弹性碰撞同时联立动量、能量两方程。