本章目标
- 理解电流 $I=dq/dt$ 与电流密度 $\vec j$ 的物理含义。
- 掌握欧姆定律 $U=IR$ 与电阻公式 $R=\rho L/S$。
- 会分析与计算串联、并联电路。
- 能用基尔霍夫定律求解复杂回路电流。
- 理解电功率与焦耳热的关系 $P=I^2R$。
核心提示：稳恒电流指电流不随时间变化，此时电路中电荷分布稳定，满足节点电流守恒。
一、电流与电流密度
电流定义为单位时间内通过截面的电荷量：
$$I = \frac{dq}{dt}$$
电流 $I$ 是宏观标量（约定正电荷流动方向为正）。更细致地，电流密度 $\vec j$ 是单位面积上的电流矢量，对截面 $S$ 积分得到电流：
$$I = \iint_S \vec j\cdot d\vec S$$
对均匀导体 $\vec j = \rho_e \vec v$（$\rho_e$ 为电荷体密度，$\vec v$ 为漂移速度），故 $I = nq v S$（$n$ 为单位体积载流子数）。
二、欧姆定律与电阻
对金属等线性元件，电压与电流成正比——欧姆定律：
$$U = IR$$
电阻由材料与几何决定：
$$R = \rho\,\frac{L}{S}$$
其中 $\rho$ 为电阻率，与温度近似满足 $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$（$\alpha$ 为温度系数，金属 $\alpha\gt0$，半导体 $\alpha\lt0$）。电导 $G=1/R$ 时欧姆定律写作 $I=GU$。
注意：$R=\rho L/S$ 表明：导线越长、越细，电阻越大；温度越高（金属）电阻越大。
三、串联与并联电路
串联：电流处处相同，总电压等于各段电压之和，总电阻相加：
$$I = I_1 = I_2,\qquad U = U_1+U_2,\qquad R = R_1+R_2$$
并联：各支路电压相同，总电流等于各支路电流之和，总电阻取倒数和：
$$U = U_1 = U_2,\qquad I = I_1+I_2,\qquad \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$
两电阻并联时可简记为 $R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。并联越多总电阻越小。
四、基尔霍夫定律
对含多电源的复杂电路，用基尔霍夫定律列方程组。
（1）节点电流定律（KCL）：任一节点流入电流等于流出电流（电荷守恒）：
$$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$$
（2）回路电压定律（KVL）：沿任一闭合回路绕行一周，电压代数和为零：
$$\sum \varepsilon - \sum IR = 0 \quad\Longrightarrow\quad \oint \text{（电压升）}=\oint \text{（电压降）}$$
列 KVL 需先规定回路绕行方向，电源电动势顺绕行方向升压取正，电阻压降 $IR$ 与绕行方向一致时取正。
五、电功率与焦耳定律
电场对电荷做功的功率即电功率：
$$P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}$$
对纯电阻，电能全部转化为热，单位时间发热量由焦耳定律给出：
$$Q = I^2 R t,\qquad P_{\text{热}} = I^2 R$$
若电路含电动机等非纯电阻元件，则 $UI \gt I^2R$（部分电能转化为机械能）。
六、动态示意：RC 充电
下方交互模拟中，拖动「时间常数 τ」滑块改变 $\tau=RC$（实际 $\tau=\text{滑块值}/100\,\text{s}$），观察电容电压 $V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$ 的上升曲线。τ 越大，充电越慢，曲线越平缓；曲线在 $t=\tau$ 时充到约 $63\%$ 的 $V_0$。点击「暂停」定格、「重置」重新开始。
提示：充电电压渐近于电源电压 $V_0$，理论上需 $t\to\infty$ 才完全充满，工程上取 $t=5\tau$ 视为充满（达 $99.3\%$）。
例题1（分压与分流）
电源电压 $U=12\,\text{V}$，两电阻 $R_1=2\,\text{k}\Omega$、$R_2=4\,\text{k}\Omega$ 串联。求各电阻分压，以及改为并联时的分流比。
解（串联）： 总电阻 $R=2+4=6\,\text{k}\Omega$，电流
$$I = \frac{U}{R} = \frac{12}{6000} = 2.0\,\text{mA}.$$
分压：$U_1=IR_1=2.0\times10^{-3}\times2000=4.0\,\text{V}$，$U_2=8.0\,\text{V}$（与阻值成正比）。
解（并联）： 电压同为 $12\,\text{V}$，电流 $I_1=12/2000=6.0\,\text{mA}$，$I_2=12/4000=3.0\,\text{mA}$，分流比 $I_1:I_2=R_2:R_1=2:1$。
例题2（基尔霍夫求解回路）
两电源 $\varepsilon_1=12\,\text{V}$、$\varepsilon_2=6\,\text{V}$ 与两电阻 $R_1=2\,\Omega$、$R_2=4\,\Omega$ 串成单回路（同向串联）。求回路电流。
解： 取绕行方向顺电流。由 KVL：$\sum\varepsilon - \sum IR = 0$，
$$(\varepsilon_1+\varepsilon_2) - I(R_1+R_2) = 0,$$
$$I = \frac{12+6}{2+4} = \frac{18}{6} = 3.0\,\text{A}.$$
若 $\varepsilon_2$ 反向，则 $I=(12-6)/6=1.0\,\text{A}$。可见电源极性决定电流大小与方向。
本章小结
- 电流 $I=dq/dt$；电流密度 $\vec j$ 描述局部分布。
- 欧姆定律 $U=IR$；电阻 $R=\rho L/S$，电阻率随温度变。
- 串联电流同、电压加；并联电压同、电流加。
- 基尔霍夫：节点 $\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$，回路电压代数和为零。
- 电功率 $P=UI=I^2R=U^2/R$；焦耳热 $Q=I^2Rt$。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。