本章目标
- 理解磁感应强度 $\vec B$ 的物理意义与方向规定。
- 掌握毕奥-萨伐尔定律与安培环路定理。
- 会计算洛伦兹力与带电粒子在匀强磁场中的圆周运动半径。
- 会计算载流导线所受安培力。
- 了解霍尔效应的原理与应用。
核心提示：磁场对运动电荷施力（$\vec F=q\vec v\times\vec B$），力恒垂直于速度与磁场，故不改速度大小、只改方向。
一、磁感应强度
磁感应强度 $\vec B$ 描述磁场的强弱与方向，是矢量场。其方向规定为小磁针 N 极受力方向；大小可用运动试探电荷受最大磁力定义：
$$B = \frac{F_{\max}}{q v}\quad (\vec v\perp \vec B)$$
国际单位特斯拉（T），$1\,\text{T}=1\,\text{N}/(\mathrm{A\cdot m})$。磁场用磁感线（疏密表强弱、切线表方向）形象表示，与电场线不同，磁感线总是闭合的。
二、毕奥-萨伐尔定律
电流元 $I d\vec l$ 在空间中某点激发的磁场元由毕奥-萨伐尔定律给出：
$$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}$$
其中 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ 为真空磁导率，$\hat r$ 由电流元指向场点的单位矢量。对整条导线积分得总场：
$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}$$
由此可得无限长直导线外距离 $a$ 处的磁场 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$，圆电流圆心处 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2R}$。
三、安培环路定理
磁场沿任意闭合回路的环流等于穿过该回路所围面的电流的 $\mu_0$ 倍（代数和）：
$$\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{enc}}$$
与静电场 $\oint \vec E\cdot d\vec l=0$ 不同，磁场的环流一般不为零，说明磁场是有旋场（非保守场）。该定理特别适合求具有高度对称性的磁场，如长直螺线管内部 $B=\mu_0 n I$（$n$ 为单位长度匝数）。
四、洛伦兹力
运动电荷在磁场中受洛伦兹力，由叉乘决定，恒垂直于 $\vec v$ 与 $\vec B$：
$$\vec F = q\,\vec v\times \vec B,\qquad F = qvB\sin\theta$$
当 $\vec v\perp\vec B$ 时力最大，粒子做匀速圆周运动（磁场只改变方向、不做功）。由洛伦兹力提供向心力 $qvB = mv^2/R$ 得回旋半径：
$$R = \frac{mv}{qB},\qquad T = \frac{2\pi m}{qB}$$
半径随 $B$、$v$ 变化：$B$ 越大、$R$ 越小；$v$ 越大、$R$ 越大。周期与速率无关（回旋加速器原理）。
五、安培力
磁场对载流导线元的作用力（安培力）是洛伦兹力的宏观表现：
$$d\vec F = I\,d\vec l\times \vec B$$
对长为 $L$、电流与磁场垂直的直导线，$F=ILB$。置于匀强磁场中的线圈受合力矩：
$$\vec \tau = \vec m\times \vec B,\qquad m = NIS$$
其中 $\vec m=NIS\hat n$ 为磁矩（$N$ 匝数，$S$ 面积）。这是电动机与磁电式仪表的工作原理。
六、霍尔效应
通有电流 $I$ 的导体板置于垂直磁场 $\vec B$ 中时，载流子受洛伦兹力偏向一侧，在板两侧积累电荷形成横向霍尔电压 $U_H$。平衡时电场力与洛伦兹力相等：
$$U_H = \frac{IB}{n q d}\quad (d\text{ 为板厚})$$
霍尔效应可判断载流子正负（从而区分电子型/空穴型半导体），并用于测量磁场强度与制作传感器。
七、动态示意：洛伦兹力
下方为带电粒子在匀强磁场中的运动模拟。拖动「磁场 B」滑块（正=出屏 ×，负=入屏 ·）改变方向，观察旋转方向：出屏时粒子逆时针回旋，入屏时顺时针回旋。拖动「速度 v」滑块改变速率，半径随之变化（$R\propto v/B$）。点击「暂停」定格。
提示：磁场方向决定回旋方向（右手定则），磁场大小与速度共同决定半径。力始终垂直于速度，因此速率不变、动能守恒。
例题1（带电粒子回旋半径）
质子（质量 $m=1.67\times10^{-27}\,\text{kg}$，电荷 $q=1.60\times10^{-19}\,\text{C}$）以速率 $v=2.0\times10^6\,\text{m/s}$ 垂直进入 $B=0.50\,\text{T}$ 的匀强磁场。求回旋半径与周期。
解： 由 $R=mv/(qB)$，
$$R = \frac{1.67\times10^{-27}\times 2.0\times10^6}{1.60\times10^{-19}\times 0.50} \approx 4.18\times10^{-2}\,\text{m}=4.18\,\text{cm}.$$
周期
$$T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi\times1.67\times10^{-27}}{1.60\times10^{-19}\times0.50} \approx 1.31\times10^{-7}\,\text{s}.$$
例题2（长直导线磁场与安培力）
（a）求距无限长直导线 $a=2.0\,\text{cm}$、电流 $I=10\,\text{A}$ 处的磁感应强度。（b）同一磁场中一段长 $L=0.30\,\text{m}$、电流 $I'=5.0\,\text{A}$ 且与 $\vec B$ 垂直的导线所受安培力。
解（a）： 由 $B=\mu_0 I/(2\pi a)$，
$$B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times 10}{2\pi\times 0.020} = 1.0\times10^{-4}\,\text{T}.$$
解（b）： 由 $F=I'LB$，
$$F = 5.0\times 0.30\times 1.0\times10^{-4} = 1.5\times10^{-4}\,\text{N}.$$
方向由右手定则（$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$）判定，垂直于导线与磁场所成平面。
本章小结
- 磁感应强度 $\vec B$；毕奥-萨伐尔 $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}$。
- 安培环路定理 $\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\text{enc}}$。
- 洛伦兹力 $\vec F=q\vec v\times\vec B$；回旋半径 $R=mv/(qB)$。
- 安培力 $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$；线圈磁力矩 $\vec\tau=\vec m\times\vec B$。
- 霍尔效应 $U_H=IB/(nqd)$，可判别载流子类型与测磁场。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。