本章目标
- 掌握库仑定律与电场强度的定义。
- 会用高斯定理求解具有对称性的电场。
- 理解电势、电势差与电势能的关系。
- 掌握电容器电容与静电场能量的计算。
一、电荷与库仑定律
物理图景：电荷是物质的电属性，同种相斥、异种相吸。静止电荷产生的场叫静电场。
库仑定律给出真空中两点电荷间的作用力：
库仑定律
$$\vec F = k_e\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r$$
其中库仑常数 $k_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8.99\times10^9\,\text{N·m}^2/\text{C}^2$，真空介电常数 $\varepsilon_0\approx 8.85\times10^{-12}\,\text{F/m}$，$\hat r$ 为由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。
二、电场强度
物理图景：电场是弥漫于空间、对电荷施加力的「场」。用电场强度描述场的强弱与方向：
$$\vec E = \frac{\vec F}{q_0}$$
点电荷 $Q$ 产生的电场：
$$\vec E = k_e\frac{Q}{r^2}\,\hat r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,\hat r$$
电场叠加原理：多个电荷的总场强为各电荷单独产生场强的向量和。
三、高斯定理
物理图景：电场线从正电荷发出、终止于负电荷。穿过任一闭合曲面的电场通量只与面内净电荷有关：
高斯定理
$$\oint_S \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$
对下列对称情形可直接求出场强：
- 球对称（点电荷、均匀带电球）：$E(r)=k_e\dfrac{Q}{r^2}$（球外）。
- 无限长直线（线密度 $\lambda$）：$E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。
- 无限大均匀带电平面（面密度 $\sigma$）：$E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。
四、电势与电势差
物理图景：静电场是保守场，可引入电势（单位电荷的电势能）。点电荷电势：
$$V(r) = k_e\frac{Q}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$$
电场力做功与电势差：
$$W_{AB} = q(V_A - V_B) = q\Delta V,\qquad \Delta V = -\int_A^B \vec E\cdot d\vec l$$
电势叠加同样满足标量叠加。电场强度与电势的微分关系：$\vec E = -\nabla V$。
五、电容器与静电场能量
平行板电容器电容：
$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$$
其中 $A$ 为极板面积、$d$ 为板间距。电容器储能：
$$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$
例题1（库仑力大小）
例题1
真空中两电荷 $q_1 = 2.0\,\mu\text{C},\; q_2 = -3.0\,\mu\text{C}$，相距 $r=0.10\,\text{m}$。求相互作用力大小与方向。
解：代入库仑定律（取绝对值）：
$$F = k_e\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8.99\times10^9\times\frac{(2.0\times10^{-6})(3.0\times10^{-6})}{(0.10)^2}$$
$$= 8.99\times10^9\times\frac{6.0\times10^{-12}}{1.0\times10^{-2}} = 8.99\times10^9\times 6.0\times10^{-10}$$
$$= 5.39\,\text{N}$$
因异号电荷，力为吸引力。答：大小约 $5.4\,\text{N}$，相互吸引。
例题2（平行板电容器）
例题2
平行板电容器极板面积 $A=0.020\,\text{m}^2$，板间距 $d=1.0\,\text{mm}$，接 $V=12\,\text{V}$ 电源。求电容与储存能量。
解：电容：
$$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{8.85\times10^{-12}\times 0.020}{1.0\times10^{-3}} = 1.77\times10^{-10}\,\text{F} = 177\,\text{pF}$$
储能：
$$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\times 1.77\times10^{-10}\times 12^2 = 0.5\times 1.77\times10^{-10}\times 144 \approx 1.27\times10^{-8}\,\text{J}$$
答：电容约 $177\,\text{pF}$，储能约 $1.27\times10^{-8}\,\text{J}$。
本章小结
- 库仑定律：$F = k_e q_1q_2/r^2 = Qq/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$。
- 电场强度：$E = F/q_0$，点电荷 $E = k_e Q/r^2$。
- 高斯定理：$\oint \vec E\cdot d\vec A = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$，用于对称场。
- 电势差：$W = q\Delta V$，点电荷 $V = k_e Q/r$。
- 平行板电容：$C = \varepsilon_0 A/d$，储能 $U = \tfrac12 CV^2$。
与数学工具的联系
- 向量：电场、电场力均为向量，需向量叠加。
- 曲面积分：高斯定理中的 $\oint \vec E\cdot d\vec A$ 是通量积分。
- 梯度：$\vec E = -\nabla V$ 把电势场与电场联系起来。