本章目标
- 理解磁通量的物理意义。
- 掌握法拉第电磁感应定律与楞次定律。
- 会计算动生电动势与自感、互感。
- 了解麦克斯韦方程组的积分形式与电磁场统一图像。
一、磁通量
物理图景：穿过曲面的磁场「总量」叫磁通量，类比电场通量。
单位：韦伯（Wb），$1\,\text{Wb}=1\,\text{T·m}^2$。匀强磁场垂直穿过面积为 $A$ 的平面时 $\Phi_B = BA$。
二、法拉第电磁感应定律
物理图景：只要回路的磁通量随时间变化，回路中就产生感应电动势 $\mathcal E$。
若线圈有 $N$ 匝且磁通量相同，则 $\mathcal E = -N\dfrac{d\Phi_B}{dt}$。负号体现楞次定律：感应电流的磁场总是阻碍磁通量的变化。
三、动生电动势
导体在磁场中运动切割磁感线时产生动生电动势。长度为 $l$ 的直导体以速度 $v$ 垂直于磁场 $\vec B$ 运动：
更一般地，导体内非静电力为洛伦兹力，动生电场 $\vec E_{\text{动}} = \vec v\times \vec B$。
四、自感与互感
自感：回路自身电流变化引起磁通变化，产生自感电动势。
电感储能：
互感：线圈 1 的电流变化在线圈 2 中感应电动势，$M_{21}=M_{12}=M$，$\mathcal E_2 = -M\dfrac{dI_1}{dt}$。
五、麦克斯韦方程组（积分形式）
物理图景：麦克斯韦把电场与磁场统一为「电磁场」，并预言电磁波。积分形式：
其中位移电流项 $\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$ 是麦克斯韦的关键补充，使方程对称，预言电磁波速 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$。
例题1（法拉第定律）
一 $N=200$ 匝线圈，单匝面积 $A=0.010\,\text{m}^2$，置于匀强磁场中，磁场在 $\Delta t=0.020\,\text{s}$ 内由 $B_1=0.50\,\text{T}$ 均匀减到 $0$。求感应电动势大小。
例题2（动生电动势）
长 $l=0.30\,\text{m}$ 的金属杆在 $B=0.40\,\text{T}$ 的匀强磁场中，以 $v=2.0\,\text{m/s}$ 垂直切割磁感线运动。求杆两端电动势。
本章小结
- 磁通量：$\Phi_B = \int \vec B\cdot d\vec A = BA\cos\theta$。
- 法拉第定律：$\mathcal E = -d\Phi_B/dt$（多匝乘 $N$）。
- 楞次定律：感应电流阻碍磁通变化。
- 动生电动势：$\mathcal E = Blv$（导体垂直切割磁感线）。
- 自感：$\mathcal E_L = -L\,dI/dt$，储能 $U=\tfrac12 LI^2$。
- 麦克斯韦方程统一电磁场，预言电磁波速 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$。
与数学工具的联系
- 导数：法拉第定律本质是磁通对时间的导数。
- 曲面积分/线积分：通量与环量是积分形式的语言。
- 对称性：利用对称可简化 $\oint\vec B\cdot d\vec l$ 等计算。