线性代数综合 · 矩阵、空间与特征值

本章目标

核心提示：线性代数把"变换"与"空间"统一在同一个语言里。矩阵是变换的账单，向量空间是舞台，特征值是变换在这舞台上的"不变量"——它告诉你哪些方向被原样拉伸、哪些被压缩。

一个 $2\times2$ 矩阵 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 作用在向量 $\vec x$ 上得到 $A\vec x$，几何上是一个线性映射：保持原点与平行线。例如

$$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$

把平面在 $x$ 方向拉伸 2 倍。矩阵乘法对应变换的复合。

向量空间是一类对加法与数乘封闭的对象的集合（如 $\mathbb R^n$、多项式、函数）。一组基是线性无关且能张成整个空间的向量；基的个数就是维数。同一个向量在不同基下坐标不同——"坐标系"的本质就是选基。

若某非零向量 $\vec v$ 经变换后仅被缩放而不改方向：

$$A\vec v = \lambda \vec v,$$

则 $\vec v$ 是特征向量，$\lambda$ 是特征值。求特征值解特征方程 $\det(A-\lambda I)=0$。特征向量揭示了变换的"主轴"：沿这些方向变换只是伸缩。

下方对矩阵 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 施加变换，绘制一组网格向量（灰色）及其像（彩色）。拖动四个元素 $a,b,c,d$ 观察：当矩阵"可对角化"时，会浮现两条特殊方向（特征向量），其上向量只被拉长/压短而不偏转。点击「播放」可看变换动画。

a b c d

求 $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：特征方程

$$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}3-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)=0,$$

特征值 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=2$。

对 $\lambda_1=3$：$(A-3I)\vec v=0\Rightarrow\begin{pmatrix}0&1\\0&-1\end{pmatrix}\vec v=0$，得 $\vec v_1=(1,0)^T$。

对 $\lambda_2=2$：$\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\vec v=0$，得 $\vec v_2=(1,-1)^T$。

判断二次型 $Q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2$ 是否正定，并求其标准形。

解：对应对称矩阵 $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$。特征值由

$$\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=\lambda^2-6\lambda+8=0,$$

得 $\lambda=2,4$，均为正，故 $Q$ 正定。标准形为 $Q=2u^2+4v^2$（主轴旋转 $45^\circ$ 得到）。

方程组 $\dot x=3x+y,\ \dot y=2y$，写成 $\dot{\vec x}=A\vec x$（$A$ 同上例），求通解。

解：由例1特征向量，沿 $\vec v_1=(1,0)^T$ 以速率 $\lambda_1=3$ 增长，沿 $\vec v_2=(1,-1)^T$ 以速率 $\lambda_2=2$ 增长。通解

$$\vec x(t)=c_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+c_2e^{2t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$

特征值直接给出各模态的指数增长率——这是线性代数连接微分方程的关键。