复变函数综合 · 解析、积分与变换

本章目标

核心提示：复变函数把微积分从实轴搬到复平面。解析性要求最严（处处可导），却带来最强结论（柯西定理说回路积分为零）；留数定理是实积分的"外挂"；积分变换则让微分方程变成代数方程。

复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在一点可导，等价于实虚部满足柯西–黎曼方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

满足且在邻域连续可微，则称 $f$ 在该处解析。解析函数自动无穷次可导——这是实函数没有的"奢侈"。

若 $f$ 在闭曲线 $C$ 内解析，$z_0$ 在 $C$ 内，则

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz.$$

更惊人的是高阶导数公式：$f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$。边界上的积分就确定了内部所有导数——解析性的"刚性"体现得淋漓尽致。

若 $f$ 在 $C$ 内除若干孤立奇点外解析，则

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}(f,z_k).$$

许多看似困难的实积分（如 $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$）可沿上半平面围道、用留数求出——这是复变的"杀手锏"。

下方把复平面上的网格（灰色）经 $w=z^2$ 映射到像平面（彩色）。拖动观察：直角网格在原点附近被"掰弯"成两倍角——这正展示了保角性（解析映射在非零导数处保持角度不变），是解析函数几何意义的核心。

判断 $f(z)=z^2$ 是否解析，并求导数。

解：写 $z=x+iy$，则 $z^2=x^2-y^2+2ixy$，故 $u=x^2-y^2,\ v=2xy$。验证 C-R 方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

满足且偏导连续，故 $f$ 处处解析，且 $f'(z)=2z$。

求 $\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz$。

解：被积函数在 $|z|=2$ 内仅奇点 $z=1$，且 $e^z$ 解析。由柯西积分公式（取 $f(z)=e^z,\ z_0=1$）：

$$\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2\pi i\, e^1=2\pi i e.$$

求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\,dx$。

解：被积函数在上半平面有单极点 $z=i$，留数

$$\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}.$$

沿上半平面大半圆围道（圆弧积分随半径 $\to\infty$ 趋于 0）：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\,dx=2\pi i\cdot\frac{1}{2i}=\pi.$$