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§1

实数系 $\mathbb{R}$ 是微积分与后续实分析的根基。本章确立实数系的完备性（没有"空隙"），并由此推出序列极限的核心定理：单调有界必收敛、柯西列必收敛、有界列必有收敛子列。这些定理是判断极限存在性、交换极限与积分/求和顺序的有力工具。

一、确界原理

定义（上确界 / 下确界）. 集合 $E\subset\mathbb{R}$ 的上确界 $\sup E$ 是满足"全体 $x\in E$ 有 $x\le M$"的最小实数 $M$；下确界 $\inf E$ 是满足"全体 $x\in E$ 有 $x\ge m$"的最大实数 $m$。

确界原理. 任意非空且有上界的实数集必有上确界；任意非空且有下界的实数集必有下确界。

这是实数系完备性的等价表述之一。有理数集不满足：如 $\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中没有上确界，说明 $\mathbb{Q}$ 存在"空隙"。

二、序列极限的 ε-N 定义

定义. 称数列 $\{x_n\}$ 收敛到 $L$，若

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \text{使当 } n>N \text{ 时 } \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon.$$

记作 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$。直观：无论容差 $\varepsilon$ 多小，序列最终永久落入 $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$。

唯一性. 极限若存在必唯一。若 $x_n\to L$ 且 $x_n\to M$，则 $\lvert L-M\rvert\le\lvert L-x_n\rvert+\lvert x_n-M\rvert\to0$，故 $L=M$。

三、单调有界定理

定理. 单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。其极限即为对应的上/下确界。

结合确界原理，这是判断"极限存在"最直接的途径，无需预先知道极限值。例如 $a_n=(1+1/n)^n$ 单调增且有界，从而收敛到 $e$。

四、柯西列与完备性

定义（柯西列）. 称 $\{x_n\}$ 为柯西列，若

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \text{使当 } m,n>N \text{ 时 } \lvert x_m-x_n\rvert<\varepsilon.$$

即项与项之间的距离最终任意小。

完备性定理. 实数系是完备的：$\mathbb{R}$ 中的柯西列必收敛。这正是 $\mathbb{R}$ 相对 $\mathbb{Q}$ 多出"所有柯西列都有极限"的性质。

五、子列与 Bolzano–Weierstrass 定理

定义. 从 $\{x_n\}$ 中按原序抽取 $x_{n_k}$（$n_1子列。

Bolzano–Weierstrass 定理. 任意有界数列必有收敛子列。

由此立得：若数列本身收敛，则任意子列也收敛到同一极限（常用于反证发散）。

六、夹逼定理

定理. 若 $a_n\le x_n\le b_n$ 且 $\lim a_n=\lim b_n=L$，则 $\lim x_n=L$。

常处理含振荡项序列，如 $x_n=\dfrac{\sin n}{n}$：由 $0\le\lvert\sin n/n\rvert\le1/n\to0$ 得 $\lim x_n=0$。

七、例题与解答

例题

证明 $x_n=\dfrac{3n+1}{2n+5}$ 收敛，并求极限。

解： 先观察极限。分子分母同除以 $n$：

$$x_n=\frac{3+\frac1n}{2+\frac5n}\xrightarrow{n\to\infty}\frac32.$$

下面用 ε-N 严格证明 $\lim x_n=\frac32$。估计差：

$$\left\lvert x_n-\frac32\right\rvert =\left\lvert\frac{3n+1}{2n+5}-\frac32\right\rvert =\left\lvert\frac{2(3n+1)-3(2n+5)}{2(2n+5)}\right\rvert =\left\lvert\frac{-13}{2(2n+5)}\right\rvert =\frac{13}{2(2n+5)}.$$

任给 $\varepsilon>0$，令 $\dfrac{13}{2(2n+5)}<\varepsilon$，解得 $n>\dfrac{13}{4\varepsilon}-\dfrac52$。取

$$N=\left\lceil\frac{13}{4\varepsilon}-\frac52\right\rceil,$$

则当 $n>N$ 时 $\lvert x_n-3/2\rvert<\varepsilon$ 成立，故 $\lim x_n=\frac32$。✓

练习

1. 用单调有界定理证明 $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ 收敛（提示：先证单调递增且有上界 $3$）。

2. 构造一个有理数中的柯西列，使其极限不在 $\mathbb{Q}$ 中（举具体例子并说明）。

3. 证明：若数列 $\{x_n\}$ 收敛，则其任意子列收敛到同一极限。反之是否成立？

本章小结

• 确界原理：非空有界实数集必有上、下确界，体现实数完备性。
• ε-N 定义严格量化极限；关键是估计 $\lvert x_n-L\rvert<\varepsilon$ 并取合适的 $N$。
• 单调有界定理、柯西完备性是判断极限存在的两条主干。
• Bolzano–Weierstrass：有界列必有收敛子列，是紧致性雏形。
• 夹逼定理处理振荡项；本章互动演示见页面底部交互图（sequenceConv：序列收敛与 ε-N 逼近）。

互动演示

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