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§1

度量是"距离"的抽象。把 $\mathbb{R}$ 中两数之差的绝对值推广为任意集合上满足三条公理的函数 $d(x,y)$，便得到度量空间。许多分析结论（收敛、完备、紧致）在一般度量空间中依然成立，这让我们能用统一框架处理函数空间、序列空间等。

一、度量公理

定义. 集合 $X$ 上的度量是函数 $d:X\times X\to[0,\infty)$，满足对任意 $x,y,z\in X$：

1. 正定性：$d(x,y)=0\iff x=y$；

2. 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$；

3. 三角不等式：$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。

称 $(X,d)$ 为度量空间。

二、常见度量

• 欧氏度量：$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$（$\mathbb{R}^n$ 上）。
• 离散度量：$d(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\ne y\end{cases}$。
• 上确界度量：$d_\infty(x,y)=\sup_i\lvert x_i-y_i\rvert$（有界序列空间 $\ell^\infty$ 上）。

三、开球、开集与闭集

定义. 以 $x$ 为中心、半径 $r>0$ 的开球为

$$B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)

开集：若每点都有含于该集的开球，则为开集。闭集：其补集为开集；等价于"包含自身所有极限点"。集合的闭包 $\overline{A}$ 是包含 $A$ 的最小闭集。

四、收敛与完备性

收敛：序列 $x_n\to x$ 指 $d(x_n,x)\to0$。

完备性：若空间中每个柯西列都收敛，则空间完备。$\mathbb{R}^n$、$\ell^\infty$ 完备；而有理数、连续函数配 $L^1$ 距离则不完备（需补全为 $L^1$）。

五、紧致性（Heine–Borel 简述）

定义. 集合 $K$ 紧致，若它的任意开覆盖都有有限子覆盖。

Heine–Borel 定理. 在 $\mathbb{R}^n$ 中，子集紧致当且仅当它有界且闭。紧致集上连续函数必取到最大最小值，这是极值存在性的核心保证。

六、例题与解答

例题

验证离散度量满足度量公理。

解：

1. 正定性：$d(x,y)=0$ 当且仅当按定义 $x=y$；成立。

2. 对称性：$d(x,y)$ 只取 $0$ 或 $1$，且 $x=y$ 与否对调 $x,y$ 不变，故 $d(x,y)=d(y,x)$。

3. 三角不等式：若 $x=z$ 则 $d(x,z)=0\le d(x,y)+d(y,z)$ 显然；若 $x\ne z$ 则 $d(x,z)=1$，而 $d(x,y),d(y,z)$ 中至少有一个为 $1$（否则 $x=y=z$ 矛盾），故右边 $\ge1$。

三类均满足，离散度量确为度量。✓

练习

1. 验证 $\mathbb{R}^n$ 上的上确界度量 $d_\infty(x,y)=\max_i\lvert x_i-y_i\rvert$ 满足三角不等式。

2. 在离散度量下，序列 $x_n$ 收敛到 $x$ 等价于什么？

3. 为什么开区间 $(0,1)\subset\mathbb{R}$ 不是紧致的（对照 Heine–Borel）？

本章小结

• 度量需满足正定性、对称性、三角不等式三条公理。
• 欧氏、离散、上确界是三类典型度量，刻画不同"距离观"。
• 开球定义开集；闭集含全部极限点。
• 完备性=柯西列皆收敛；紧致（有界闭）保证极值存在。
• 本章互动演示见页面底部交互图（metricBall：欧氏 / 曼哈顿 / 最大范数下的开球形状）。

互动演示

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