勒贝格测度与积分

§1

黎曼积分按"竖直切条"逼近，对高度振荡或间断密集的函数无能为力。勒贝格积分改为"水平分层"：先按函数值高低分层，再对各层"占据的测度"加权。这套语言统一处理了可测集的"长度/面积"，并给出极限与积分可交换的强大定理（单调收敛、控制收敛）。

定义（外测度）. 对任意 $E\subset\mathbb{R}$，

$$m^*(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^{\infty}\ell(I_k):E\subset\bigcup_{k}I_k\right\},$$

其中 $I_k$ 为覆盖 $E$ 的开区间，$\ell$ 为区间长度。

Carathéodory 可测. 称 $E$ 勒贝格可测，若对任意测试集 $T$ 满足

$$m^(T)=m^(T\cap E)+m^*(T\cap E^c).$$

全体可测集的测度记为 $m(E)$，即受限后的 $m^*$。

对非负可测函数，先定义简单函数（有限个常值阶梯）的积分，再以递增简单函数列从下方逼近：

$$\int f\,dm=\sup\left\{\int s\,dm:s\text{ 简单},\ 0\le s\le f\right\}.$$

一般函数拆为 $f=f^+-f^-$ 分别积分（只要不出现 $\infty-\infty$）。

单调收敛定理（MCT）. 若 $0\le f_1\le f_2\le\cdots$ 且 $f_n\to f$，则

$$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$

控制收敛定理（DCT）. 若 $f_n\to f$ 几乎处处，且存在可积控制函数 $g$ 使 $\lvert f_n\rvert\le g$ 对所有 $n$ 成立，则

$$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$

DCT 是交换"极限"与"积分"顺序最常用工具。

有界区间上，黎曼可积 $\iff$ 不连续点测度为 $0$；勒贝格积分在其上等于黎曼积分。

设 $f_n(x)=n x e^{-n x}$ 于 $[0,1]$，用 DCT 求 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx$。

解：先逐点看极限：对 $x=0$，$f_n(0)=0$；对 $x>0$，指数衰减压倒线性增长，$f_n(x)\to0$。故 $f_n\to0$ 几乎处处。

找控制函数：求导 $f_n'(x)=n e^{-nx}(1-nx)$，最大值在 $x=1/n$ 处，

$$\max_{[0,1]} f_n=f_n(1/n)=e^{-1}<1.$$

故可取控制函数 $g(x)\equiv1$（在 $[0,1]$ 上可积）。由 DCT，

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 n x e^{-nx}\,dx=\int_0^1 0\,dx=0.$$

直接核算验证：$\int_0^1 nxe^{-nx}dx=\left[-xe^{-nx}-\frac1n e^{-nx}\right]_0^1=\frac{1-e^{-n}}{n}-e^{-n}\to0$，与 DCT 一致。✓

1. 举一个黎曼可积但勒贝格积分也相等的经典函数（如 Dirichlet 函数变种说明不可积）。

2. 用 MCT 计算 $\int_0^\infty e^{-x}\,dm$ 的阶梯逼近思路。

3. 为什么 $[0,1]$ 上有理点集的勒贝格测度为 $0$ 但黎曼不可积？

参考答案与提示

1. 连续函数或间断点测度 $0$ 者（如单调函数）两边积分相等；Dirichlet 函数 $D(x)=1_{\mathbb{Q}}$ 黎曼不可积，但勒贝格积分为 $0$（有理点测度 $0$）。

2. 取 $f_n=\min(e^{-x},n)$ 或截断 $[0,n]$ 再细分，由 MCT 极限等于 $\int_0^\infty e^{-x}=1$。

3. 有理点可数，单点测度 $0$，可数并测度 $0$；但黎曼积分要求上、下和逼近，有理/无理处处稠密使上下和分别为 $1$ 与 $0$，故不可积。

拖动下方控件观察动态过程。

黎曼积分（竖直分条）与勒贝格积分（按函数值水平分层）对比：两者都收敛到同一积分值。

分层数 n