§1
把"函数"本身视为向量，赋予范数后便成线性空间。不同范数给出不同的"距离观"与收敛意义。$C[a,b]$ 配上一致范数、可测函数配上 $L^p$ 范数，分别构成分析学最常用的两类函数空间，也是研究微分方程、逼近论的舞台。
一、范数公理
定义. 线性空间 $X$ 上的范数 $\lVert\cdot\rVert:X\to[0,\infty)$ 满足：
1. 正定性：$\lVert x\rVert=0\iff x=0$；
2. 齐次性：$\lVert\alpha x\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert$；
3. 三角不等式：$\lVert x+y\rVert\le\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$。
赋范空间即 $(X,\lVert\cdot\rVert)$。
二、C[a,b] 与一致范数
连续函数空间 $C[a,b]$ 配一致范数
$$\lVert f\rVert_\infty=\max_{x\in[a,b]}\lvert f(x)\rvert.$$
该范数下收敛即一致收敛：$\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$ 表示误差在整个区间上一致趋于零。
三、Lp 空间与不等式
定义. 对 $1\le p<\infty$，
$$\lVert f\rVert_p=\left(\int\lvert f\rvert^p\,dm\right)^{1/p},$$
全体使 $\lVert f\rVert_p<\infty$ 的可测函数构成 $L^p$ 空间（等价类意义下）。
Hölder 不等式. 若 $1/p+1/q=1$，则
$$\int\lvert fg\rvert\le\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q.$$
Minkowski 不等式（三角不等式）. $\lVert f+g\rVert_p\le\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p$，保证 $L^p$ 确为赋范空间。
四、逐点收敛 vs 一致收敛
- 逐点收敛：$x$ 固定时 $f_n(x)\to f(x)$，收敛速度可随 $x$ 而异。
- 一致收敛：$\sup_x\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\to0$，更强。
一致收敛保连续性、保积分极限交换；逐点收敛一般不保。
五、完备性
$C[a,b]$ 配一致范数、以及 $L^p$（$1\le p\le\infty$）都是完备的（其中柯西列皆收敛）。而只配逐点收敛或 $L^1$ 距离下的连续函数空间不完备。
六、例题与解答
例题
给出一列函数 $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ 逐点收敛到 $0$ 但不一致收敛。
解： 取
$$f_n(x)=n x e^{-n x}.$$
逐点：对 $x=0$，$f_n(0)=0$；对 $x>0$ 指数衰减压倒线性增长，$f_n(x)\to0$。故逐点收敛到 $0$。
但不一致：求导得最大值在 $x=1/n$，
$$\lVert f_n\rVert_\infty=\max_{x\in[0,1]}f_n(x)=f_n(1/n)=e^{-1}\not\to0.$$
因此逐点收敛到 $0$ 而一致范数不趋于零——逐点收敛严格弱于一致收敛。✓
练习
1. 验证一致范数满足范数三条公理（提示：用到 $\lvert f(x)+g(x)\rvert\le\lvert f\rvert+\lvert g\rvert$ 取最大值）。
2. 取 $f_n(x)=x^n$ 于 $[0,1]$，它逐点收敛到何函数？是否一致？
3. 对 $p=2,q=2$ 写出 Hölder 不等式的具体形式。
参考答案与提示
1. 正定：最大值为 $0$ 当且仅当函数恒 $0$；齐次：$\max\lvert\alpha f\rvert=\lvert\alpha\rvert\max\lvert f\rvert$；三角：$\max\lvert f+g\rvert\le\max(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)\le\lVert f\rVert_\infty+\lVert g\rVert_\infty$。
2. 逐点极限 $f(x)=0\ (x<1),\ 1\ (x=1)$，在 $x=1$ 处不连续，而 $f_n$ 连续，故不可能一致收敛（一致极限须连续）。
3. 即 Cauchy–Schwarz：$\int\lvert fg\rvert\le(\int f^2)^{1/2}(\int g^2)^{1/2}$。
本章小结
- 范数需正定、齐次、三角不等式；赋范空间是研究框架。
- $C[a,b]$ 配一致范数；收敛即一致收敛，保连续与积分交换。
- $L^p$ 由 $p$ 次幂可积定义；Hölder 与 Minkowski 是基石不等式。
- 逐点收敛弱于一致收敛；二者由 $\sup$ 是否趋于 $0$ 区分。
- 本章互动演示见页面底部交互图（convergenceModes：逐点收敛 vs 一致范数不趋于零）。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
逐点收敛 vs 一致收敛：f_n(x)=n·x·e^{-nx} 逐点趋于 0，但 sup|f_n|=e^{-1} 不趋于 0，故不一致收敛。