§1
正交函数系把"函数"展开成正弦余弦的叠加，如同向量在空间的正交分解。傅里叶级数在信号处理、热传导、图像压缩中无处不在。本章给出系数公式、收敛性、能量守恒（Parseval）与著名的吉布斯现象。
一、正交函数系
在区间 $[-\pi,\pi]$ 上，函数系
$$1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots$$
两两正交：
$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx=\pi\delta_{mn}\quad(m,n\ge1).$$
由此可像正交基一样投影求系数。
二、傅里叶系数
对 $2\pi$-周期函数 $f$，其傅里叶级数为
$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big),$$
系数由投影给出：
$$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$
三、收敛性
- 逐点收敛：若 $f$ 分段光滑，则在连续点收敛到 $f(x)$，间断点收敛到左右极限平均值 $\frac{f(x^+)+f(x^-)}2$。
- 一致收敛：当系数绝对可和（如 $f$ 光滑）时，部分和一致收敛到 $f$。
四、Parseval 等式
傅里叶展开保持"能量"：
$$\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x)\rvert^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).$$
即时域总能量等于各频率分量能量之和（离散功率谱）。
五、吉布斯现象
在跳跃间断处，部分和 $S_N$ 会在跳跃两侧出现过冲，其峰高约为跳变幅度的 $9\%$（更精确约 $8.95\%$），且随 $N$ 增大不消失，只是变窄。这是傅里叶级数逼近不连续的固有缺陷。
六、例题与解答
例题
求方波 $f(x)=\begin{cases}1,&0 解： $f$ 为奇函数，故 $a_n=0$（奇函数乘偶函数积分对称相消）。只算 $b_n$： $$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx
=\frac2\pi\int_0^{\pi}1\cdot\sin nx\,dx
=\frac2\pi\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi
=\frac2{\pi n}(1-\cos n\pi).$$ 因 $\cos n\pi=(-1)^n$，得 $$b_n=\frac{2}{\pi n}\big(1-(-1)^n\big)=
\begin{cases}0,&n\text{ 偶},\\ \dfrac{4}{\pi n},&n\text{ 奇}.\end{cases}$$ 故方波展开为 $$f(x)\sim\frac4\pi\left(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\right).$$✓
练习
1. 对偶函数 $f(x)=\lvert x\rvert$ 于 $[-\pi,\pi]$，说明为何 $b_n=0$ 并写出 $a_n$ 主项。
2. Parseval 对方波例给出什么能量等式？
3. 吉布斯现象过冲比例约多少？为何增大 $N$ 不能消除它？
参考答案与提示
1. $f$ 偶，$\sin nx$ 奇，乘积奇，积分 $0$；故只含余弦项。$a_0=\pi$，$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\cos nx\,dx=\frac{2}{\pi n^2}((-1)^n-1)$，奇数项为 $-4/(\pi n^2)$。
2. 方波幅 $1$，左边能量 $\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi1=\frac{2\pi}{\pi}=2$；右边 $\sum_{n\text{奇}}\frac{16}{\pi^2 n^2}=2$，即 $\sum_{k}\frac1{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。
3. 过冲约 $9\%$（约 $8.95\%$，即跳变幅度的 $\approx0.0895$ 倍）；因部分和在间断处为振荡型过冲，增大 $N$ 只使过冲峰变窄而不降高，是傅里叶级数逼近不连续的固有现象。
本章小结
- 三角函数系正交，傅里叶系数=函数在该基上的投影。
- 分段光滑函数逐点收敛到函数值/左右极限平均。
- Parseval 等式：时域能量 = 频域分量能量之和。
- 吉布斯现象：跳跃处约 $9\%$ 过冲，增大项数不消失。
- 本章互动演示见页面底部交互图（fourierGibbs：方波部分和与跳跃处过冲）。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
傅里叶级数与吉布斯现象：方波的部分和 S_n 在跳跃处出现持续约 9% 的过冲，不随项数增多而消失。