巴拿赫与希尔伯特空间

§1

赋范空间若"没有漏洞"（完备），就是巴拿赫空间；再额外装备内积，使范数来自内积，就是希尔伯特空间。内积带来"正交"概念，使最佳逼近、投影、傅里叶展开都有了几何意义。本章连接线性代数与函数分析。

定义. 配范数的线性空间 $(X,\lVert\cdot\rVert)$ 称为赋范空间。若其中每个柯西列都收敛，则称为巴拿赫空间（Banach）。

例：$\mathbb{R}^n$ 配欧氏范数、$C[a,b]$ 配一致范数、$L^p$ 空间都是巴拿赫空间。

定义. 内积 $\langle x,y\rangle$ 是满足共轭对称、线性、正定的二元函数，并由此诱导范数

$$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}.$$

Cauchy–Schwarz 不等式.

$$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\le\lVert x\rVert\,\lVert y\rVert.$$

等号成立当且仅当 $x,y$ 线性相关。

内积还满足极化恒等式，范数完全由内积决定。

定义. 配内积且关于诱导范数完备的空间称为希尔伯特空间（Hilbert）。

例：$\ell^2$（平方可和序列）、$L^2$（平方可积函数）是无限维希尔伯特空间；$\mathbb{R}^n$ 配点积也是。

定理（最佳逼近）. 设 $M$ 是希尔伯特空间的闭子空间，则对任意 $x$，存在唯一 $m_0\in M$ 使

$$\lVert x-m_0\rVert=\min_{m\in M}\lVert x-m\rVert.$$

此 $m_0$ 即 $x$ 在 $M$ 上的正交投影，特征为误差 $x-m_0\perp M$。

平行四边形法则. 范数来自内积当且仅当

$$\lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2=2\lVert x\rVert^2+2\lVert y\rVert^2.$$

（可用于判别某赋范空间能否成为希尔伯特空间。）

Riesz 表示定理（简述）. 希尔伯特空间上每个连续线性泛函 $F$ 都可唯一写成内积形式 $F(x)=\langle x_0,x\rangle$，即泛函"由某个向量代表"。

在 $\mathbb{R}^2$ 中，$x=(3,1)$，子空间 $M=\operatorname{span}\{(1,0)\}$，求 $x$ 在 $M$ 上的最佳逼近（正交投影）。

解： $M$ 为 $x$ 轴。投影到 $M$ 即保留第一分量：

$$m_0=\operatorname{proj}_M x=\frac{\langle x,(1,0)\rangle}{\langle(1,0),(1,0)\rangle}(1,0)=\frac{3}{1}(1,0)=(3,0).$$

误差 $x-m_0=(0,1)$，与 $M$ 的基 $(1,0)$ 内积为 $0$，确正交。最小距离

$$\lVert x-m_0\rVert=\lVert(0,1)\rVert=1.$$

故最佳逼近为 $(3,0)$。✓

1. 用平行四边形法则验证 $\mathbb{R}^2$ 的欧氏范数来自内积（取具体向量验算）。

2. 在 $L^2[0,1]$ 中，子空间为常值函数，求 $f(x)=x$ 的最佳常数逼近（提示：投影=平均值）。

3. 为什么 $C[0,1]$ 配 $L^1$ 范数不是希尔伯特空间？

参考答案与提示

1. 欧氏范数恒满足 $\lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2=2\lVert x\rVert^2+2\lVert y\rVert^2$（两边展开即毕），故确来自内积。

2. 最佳常数为均值 $\int_0^1 x\,dx=1/2$；逼近 $c=1/2$，误差 $\lVert x-1/2\rVert_2=1/\sqrt{12}$。

3. $L^1$ 范数不满足平行四边形法则，故不能由内积诱导，对应的 $C[0,1]$ 非希尔伯特空间。

拖动下方控件观察动态过程。

希尔伯特空间正交投影（最佳逼近）：向量 v 在子空间 M 上的投影 p，误差 e=v-p 垂直于 M，距离最小。