§1
随机变量把"随机试验结果"翻译成"数值"，从而能用函数的语言（分布、密度、期望）来研究不确定性。它是连接概率论与微积分的桥梁。
本章目标
- 理解随机变量、分布函数的概念。
- 掌握离散型随机变量（分布列）与连续型随机变量（密度函数）的区别与联系。
- 熟悉常见分布：二项、泊松、均匀、指数、正态。
- 会用分布函数计算概率，理解期望与方差的直观意义。
一、随机变量与分布函数
定义. 设随机试验的样本空间为 $\Omega$，若对每个样本点 $\omega\in\Omega$ 都对应一个实数 $X(\omega)$，则称 $X$ 为随机变量（random variable）。
分布函数：对任意实数 $x$，令
$$F(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb{R}.$$
$F(x)$ 满足：
- $0\le F(x)\le1$，且 $\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0,\ \lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1$；
- $F(x)$ 单调不减；
- $F(x)$ 右连续。
由分布函数可求任意区间概率：
$$P(a
二、离散型随机变量
若 $X$ 只取有限或可数个值，称 $X$ 为离散型随机变量。其概率分布用分布列描述：
$$P(X=x_k)=p_k,\qquad k=1,2,\dots,$$
满足 $p_k\ge0$ 且 $\sum_k p_k=1$。
常见离散分布：
- 二项分布 $X\sim B(n,p)$：n 次独立伯努利试验中成功次数，
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n.$$
- 泊松分布 $X\sim P(\lambda)$（或 $\operatorname{Pois}(\lambda)$）：描述稀有事件计数，
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots,\ \lambda>0.$$
泊松定理：当 $n$ 大、$p$ 小且 $np=\lambda$ 时，$B(n,p)\approx P(\lambda)$。
三、连续型随机变量
若 $X$ 的分布函数可写为
$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt,$$
且 $f(x)\ge0$，则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为概率密度函数（pdf）。性质：
- $f(x)\ge0$，且 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$；
- 对任意区间，$P(a
- 对连续型随机变量，$P(X=a)=0$（单点概率为 0），故 $P(a\le X\le b)=P(a
- 在 $f$ 的连续点，$F'(x)=f(x)$。
- 对连续型随机变量，$P(X=a)=0$（单点概率为 0），故 $P(a\le X\le b)=P(a
常见连续分布：
- 均匀分布 $X\sim U(a,b)$：$f(x)=\dfrac{1}{b-a}\ (a\le x\le b)$，其余为 0。
- 指数分布 $X\sim \operatorname{Exp}(\lambda)$：$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ (x\ge0,\ \lambda>0)$；具"无记忆性" $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$。
- 正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$：密度为
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\qquad -\infty 其中 $\mu$ 为均值（位置），$\sigma>0$ 为标准差（尺度）。特别地 $\mu=0,\sigma=1$ 时称标准正态分布 $N(0,1)$，其分布函数记作 $\Phi(x)$，且 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。
四、数字特征（简介）
- 期望（均值）：离散型 $E(X)=\sum_k x_k p_k$；连续型 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx$。它刻画"平均取值"。
- 方差：$D(X)=\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^2\big]=E(X^2)-[E(X)]^2$，刻画"离散程度"；标准差 $\sigma=\sqrt{D(X)}$。
- 线性性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$；$D(aX+b)=a^2D(X)$（当 $a,b$ 为常数）。
常见分布的期望与方差：
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| $U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| $\operatorname{Exp}(\lambda)$ | $1/\lambda$ | $1/\lambda^2$ |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
五、例题
例题1
设 $X\sim B(5,0.4)$，求 $P(X=2)$ 与 $P(X\le2)$。
解： 分布列 $P(X=k)=\binom{5}{k}0.4^k 0.6^{5-k}$。
$$P(X=2)=\binom{5}{2}(0.4)^2(0.6)^3=10\times0.16\times0.216=0.3456.$$
$$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).$$
其中
- $P(X=0)=0.6^5=0.07776$；
- $P(X=1)=5\times0.4\times0.6^4=5\times0.4\times0.1296=0.2592$；
- $P(X=2)=0.3456$。
故 $P(X\le2)=0.07776+0.2592+0.3456=0.68256$。
例题2
设 $X\sim N(2,3^2)$（即 $\mu=2,\sigma=3$），求 $P(X\le5)$。
解： 标准化：令 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-2}{3}$，则 $Z\sim N(0,1)$，且
$$P(X\le5)=P\!\left(\frac{X-2}{3}\le\frac{5-2}{3}\right)=P(Z\le1)=\Phi(1).$$
查标准正态分布表得 $\Phi(1)\approx0.8413$。故 $P(X\le5)\approx0.8413$。
本章小结
- 随机变量把试验结果数值化；分布函数 $F(x)=P(X\le x)$ 统一描述两类随机变量。
- 离散型用分布列 $P(X=x_k)=p_k$（$\sum p_k=1$）；连续型用密度 $f(x)$（$\int f=1$，且 $P(X=a)=0$）。
- 常见分布：二项 $B(n,p)$、泊松 $P(\lambda)$、均匀 $U(a,b)$、指数 $\operatorname{Exp}(\lambda)$、正态 $N(\mu,\sigma^2)$。
- 正态密度 $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$；标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$。
- 期望刻画平均，方差刻画离散程度；列表中的期望/方差公式应熟记。
> 可视化联系：在 ComplexViz 的概率视图中，可拖动参数 $\mu,\sigma$ 观察正态钟形曲线的平移与展宽；二项分布随 $n$ 增大会越来越接近正态曲线（中心极限定理的雏形）。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。