本章目标
- 理解随机变量、分布函数的概念。
- 掌握离散型（分布列）与连续型（密度函数）的区别与联系。
- 熟悉常见分布：二项、泊松、均匀、指数、正态。
- 会用分布函数计算概率，理解期望与方差的直观意义。
一、随机变量与分布函数
随机变量 $X$ 把每个样本点 $\omega$ 映射为实数 $X(\omega)$。其分布函数
$$F(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb{R}$$
满足：$0\le F(x)\le1$；单调不减；右连续；$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。区间概率：
$$P(a < X \le b)=F(b)-F(a)$$
二、离散型随机变量
只取有限或可数个值，用分布列描述：$P(X=x_k)=p_k$，满足 $p_k\ge0$ 且 $\sum_k p_k=1$。
二项分布 $B(n, p)$
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n$$
泊松分布 $P(\lambda)$
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots,\ \lambda>0$$
泊松定理：当 $n$ 大、$p$ 小且 $np=\lambda$ 时，$B(n,p)\approx P(\lambda)$。
三、连续型随机变量
若 $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$，则 $f(x)$ 为概率密度函数，满足 $f(x)\ge0$ 且 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$。性质：
$$P(a < X \le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad P(X=a)=0$$
均匀分布 $U(a,b)$
$$f(x)=\frac{1}{b-a},\qquad a\le x\le b$$
指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$
$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0\ (\lambda>0,\ \text{具无记忆性})$$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ —— 核心密度
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\qquad -\infty < x < +\infty$$
$\mu=0,\sigma=1$ 称标准正态分布 $N(0,1)$，分布函数 $\Phi(x)$，且 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。
四、数字特征
期望与方差
$$E(X)=\sum_k x_k p_k\ (\text{离散});\quad E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx\ (\text{连续})$$
$$D(X)=E\!\big[(X-E(X))^2\big]=E(X^2)-[E(X)]^2$$
$$E(aX+b)=aE(X)+b;\qquad D(aX+b)=a^2 D(X)$$
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| $U(a,b)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| $\operatorname{Exp}(\lambda)$ | $1/\lambda$ | $1/\lambda^2$ |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
例题与解答
例题1
设 $X\sim B(5, 0.4)$，求 $P(X=2)$ 与 $P(X\le 2)$。
解：分布列 $P(X=k)=\binom{5}{k}0.4^k 0.6^{5-k}$。
$$P(X=2)=\binom{5}{2}(0.4)^2(0.6)^3=10\times0.16\times0.216=0.3456.$$
$$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).$$
其中 $P(X=0)=0.6^5=0.07776$；$P(X=1)=5\times0.4\times0.6^4=0.2592$；$P(X=2)=0.3456$。
合计 $0.07776+0.2592+0.3456=0.68256$。
例题2
设 $X\sim N(2,3^2)$（即 $\mu=2,\sigma=3$），求 $P(X\le5)$。
解：标准化 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-2}{3}\sim N(0,1)$。
$$P(X\le5)=P\!\left(\frac{X-2}{3}\le\frac{5-2}{3}\right)=P(Z\le1)=\Phi(1)\approx0.8413.$$
本章小结
- 随机变量把试验结果数值化；分布函数 $F(x)=P(X\le x)$ 统一描述两类随机变量。
- 离散型用分布列 $P(X=x_k)=p_k$（$\sum p_k=1$）；连续型用密度 $f(x)$（$\int f=1$，且 $P(X=a)=0$）。
- 常见分布：二项 $B(n,p)$、泊松 $P(\lambda)$、均匀 $U(a,b)$、指数 $\operatorname{Exp}(\lambda)$、正态 $N(\mu,\sigma^2)$。
- 正态密度 $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$；标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$。
- 期望刻画平均，方差刻画离散程度；表中期望/方差公式应熟记。
可视化联系：在 ComplexViz 的概率视图中拖动 $\mu,\sigma$ 可观察正态钟形曲线的平移与展宽；二项分布随 $n$ 增大会越来越接近正态曲线（中心极限定理的雏形）。