本章目标
- 理解多维随机变量与联合分布函数的概念。
- 能从联合分布求出边缘分布，并判断独立性。
- 掌握协方差、相关系数的含义与计算。
- 了解独立和的分布（卷积）与协方差矩阵。
一、多维随机变量与联合分布
若 $X_1,\dots,X_n$ 定义在同一概率空间上，则 $(X_1,\dots,X_n)$ 为 $n$ 维随机变量。其联合分布函数
$$F(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n)$$
二维离散型用联合分布列 $p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)$（$\sum_{i,j}p_{ij}=1$）；二维连续型用联合密度 $f(x,y)$，满足 $f(x,y)\ge0$ 且
$$P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\,dy=1$$
二、边缘分布
由联合分布可“边缘化”得到单个分量的分布：
$$\text{离散： }p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij},\quad p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$$
$$\text{连续： }f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy,\quad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx$$
对应的边缘分布函数为 $F_X(x)=F(x,+\infty)$。注意：联合分布唯一决定边缘分布，但边缘分布一般不能反推联合分布（除非独立）。
三、独立性
$X$ 与 $Y$ 相互独立，当且仅当对任意 $x,y$ 有 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$；连续型等价于联合密度等于边缘密度之积：
$$f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y),\qquad \text{离散型： }p_{ij}=p_{i\cdot}\,p_{\cdot j}$$
> 独立随机变量的函数往往仍独立；若 $X,Y$ 独立，则 $E[XY]=E[X]E[Y]$，这是下一节协方差为 0 的特例。
四、协方差与相关系数
协方差刻画两变量偏离各自均值的“协同”程度：
$$\operatorname{Cov}(X,Y)=E\!\big[(X-E[X])(Y-E[Y])\big]=E[XY]-E[X]E[Y]$$
为消除量纲影响，引入相关系数 $\rho\in[-1,1]$：
$$\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y},\qquad \sigma_X=\sqrt{D(X)},\ \sigma_Y=\sqrt{D(Y)}$$
$\rho=0$ 称不相关（注意：独立 $\Rightarrow$ 不相关，反之一般不成立，除非是二维正态）。$\rho=\pm1$ 表示完全线性相关。
五、独立和的分布（卷积）
设 $X,Y$ 独立，其和 $Z=X+Y$ 的密度由卷积公式给出：
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx$$
常见结论：独立正态之和仍为正态——若 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则
$$X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)$$
离散情形对分布列做离散卷积（多项式乘法）；泊松分布之和仍为泊松，参数相加。
六、协方差矩阵
对随机向量 $\mathbf X=(X_1,\dots,X_n)^T$，其协方差矩阵为
$$\Sigma=\operatorname{Cov}(\mathbf X)=E\!\big[(\mathbf X-\mu)(\mathbf X-\mu)^T\big],\quad \Sigma_{ij}=\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$$
$\Sigma$ 为对称半正定矩阵，对角元即各分量方差。多维正态 $N(\mu,\Sigma)$ 完全由均值向量 $\mu$ 与协方差矩阵 $\Sigma$ 决定。
例题与解答
例题1 · 求边缘分布
设 $(X,Y)$ 在矩形 $D=[0,1]\times[0,2]$ 上均匀分布，即 $f(x,y)=1/2$（$0\le x\le1,0\le y\le2$）。求边缘密度 $f_X(x)$、$f_Y(y)$ 并判断独立性。
解：
$$f_X(x)=\int_0^2 \frac{1}{2}\,dy=1,\quad 0\le x\le1;\qquad f_Y(y)=\int_0^1 \frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2},\quad 0\le y\le2.$$
由于 $f(x,y)=1/2=f_X(x)f_Y(y)=1\cdot\frac12$，故 $X,Y$ 独立。
例题2 · 协方差与相关系数
设 $D(X)=4,\ D(Y)=9,\ \operatorname{Cov}(X,Y)=3$。求相关系数 $\rho_{XY}$。
解： $\sigma_X=\sqrt4=2$，$\sigma_Y=\sqrt9=3$。
$$\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{3}{2\times3}=\frac{1}{2}=0.5.$$
表明 $X,Y$ 呈中等程度正相关。
本章小结
- 多维随机变量由联合分布函数/密度描述；边缘分布由积分或求和得到。
- 独立等价于联合密度（或分布列）分解为边缘之积：$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
- 协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$；相关系数 $\rho=\operatorname{Cov}/(\sigma_X\sigma_Y)\in[-1,1]$。
- 独立和用卷积：$f_Z(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$；独立正态之和仍为正态。
- 随机向量由协方差矩阵 $\Sigma_{ij}=\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ 刻画离散程度与相关性。
> “独立 ⇒ 不相关”成立，但“不相关 ⇒ 独立”仅在特定分布（如二维正态）下才成立，是常见易错点。
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