本章目标
- 理解样本空间、随机事件及其运算（并、交、补、差）。
- 掌握概率的三条公理（非负性、规范性、可列可加性）。
- 会用古典概型与几何概型计算基本概率。
- 熟练运用条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式。
一、样本空间与随机事件
随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间 $\Omega$，其中每个元素 $\omega$ 称为样本点。样本空间的子集称为随机事件（简称事件）。必然事件为 $\Omega$，不可能事件为空集 $\varnothing$。
事件的基本运算：并 $A\cup B$（至少一个发生）、交 $A\cap B$（同时发生）、补 $\overline A$（不发生）、差 $A-B=A\cap\overline B$。对偶律（德·摩根律）：
$$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$$
> 事件运算与集合运算完全一致；分析复杂事件时，先用集合语言把它拆成并/交/补的组合，往往能使概率计算条理化。
二、概率公理
概率 $P(\cdot)$ 是定义在事件域上的集合函数，满足以下三条公理：
$$0\le P(A)\le 1;\qquad P(\Omega)=1$$
$$\text{若 }A_1,A_2,\dots\text{ 两两互斥，则 }P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\ \text{（可列可加性）}$$
由公理可推出若干基本性质：
- $P(\varnothing)=0$；
- 有限可加性：互斥事件 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；
- 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；
- 单调性：若 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$；
- 补集：$P(\overline A)=1-P(A)$。
三、古典概型与几何概型
古典概型：样本空间有限、且每个基本事件等可能。若有利事件含 $m$ 个样本点、总样本点数为 $n$，则
$$P(A)=\frac{m}{n}$$
几何概型：样本空间为某可度量的几何区域 $G$，事件 $A$ 对应子区域 $g$，概率与度量（长度、面积、体积）成正比：
$$P(A)=\frac{\text{区域 }g\text{ 的度量}}{\text{区域 }G\text{ 的度量}}$$
四、条件概率与乘法公式
在已知事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为条件概率：
$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\qquad P(B)\gt 0$$
由此立得乘法公式（用于计算两事件同时发生的概率）：
$$P(AB)=P(B)\,P(A\mid B)=P(A)\,P(B\mid A)$$
推广到 $n$ 个事件：$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1A_2)\cdots P(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1})$。
> 若 $P(A\mid B)=P(A)$，则称 $A$ 与 $B$ 独立，此时乘法公式退化为 $P(AB)=P(A)P(B)$。
五、全概率公式
设事件 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 两两互斥且 $\bigcup_i A_i=\Omega$（构成样本空间的一个划分），则对任意事件 $B$：
$$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\,P(B\mid A_i)$$
它把复杂事件 $B$ 的概率，分解为在若干“原因” $A_i$ 下发生概率的加权和，是“由因推果”的基本工具。要求 $P(A_i)\gt 0$。
六、贝叶斯公式
在全概率公式的基础上，若已知结果 $B$ 发生，反推它来自原因 $A_i$ 的概率（由果溯因）：
$$P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)\,P(B\mid A_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A_j)\,P(B\mid A_j)},\qquad i=1,2,\dots,n$$
其中 $P(A_i)$ 为先验概率（事前认识），$P(A_i\mid B)$ 为后验概率（观察到 $B$ 后的更新）。贝叶斯公式是统计推断与机器学习的理论基石。
例题与解答
例题1 · 条件概率计算
袋中有 3 红 2 白共 5 球，不放回地依次取 2 球。已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。
解： 设 $A=$“第一次红”，$B=$“第二次红”。已知第一次已取走 1 红，则袋中剩 2 红 2 白共 4 球。
$$P(B\mid A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$
亦可用定义验证：$P(A)=\frac{3}{5}$，$P(AB)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$，故 $P(B\mid A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{3/10}{3/5}=\dfrac{1}{2}$。
例题2 · 贝叶斯诊断问题
某疾病患病率 $P(D)=0.01$。一种检测对患者灵敏度 $P(T\mid D)=0.95$，对健康者误诊率 $P(T\mid \overline D)=0.05$。若某人检测呈阳性 $T$，求他真正患病的概率 $P(D\mid T)$。
解： 由贝叶斯公式与全概率公式：
$$P(D\mid T)=\frac{P(D)P(T\mid D)}{P(D)P(T\mid D)+P(\overline D)P(T\mid \overline D)}.$$
代入：$P(D)=0.01$，$P(\overline D)=0.99$，$P(T\mid D)=0.95$，$P(T\mid \overline D)=0.05$。
$$P(D\mid T)=\frac{0.01\times0.95}{0.01\times0.95+0.99\times0.05}=\frac{0.0095}{0.0095+0.0495}=\frac{0.0095}{0.059}\approx0.161.$$
即阳性者真正患病概率仅约 $16.1\%$——先验极低时，单凭检测并不可靠。
本章小结
- 样本空间 $\Omega$、事件（子集）及其并交补差运算；德·摩根对偶律。
- 概率三公理：$0\le P(A)\le1$、$P(\Omega)=1$、可列可加性；并推出加法公式与补集公式。
- 古典概型 $P(A)=m/n$；几何概型按区域度量比值计算。
- 条件概率 $P(A\mid B)=P(AB)/P(B)$；乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B\mid A)$。
- 全概率公式（由因推果）与贝叶斯公式（由果溯因）互为表里，是本章核心。
> 建议：凡遇“在……条件下”优先考虑条件概率；凡遇多阶段或多种“原因”导致同一“结果”，优先尝试全概率与贝叶斯。
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