§1
偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是含有未知多元函数及其偏导数的方程。它刻画"场"随空间与时间的演化，是连续介质物理的基石。
一、什么是 PDE：阶、线性、拟线性
设 $u(x,y)$ 或 $u(x,t)$ 为未知函数，含偏导数如 $u_x,u_{xx},u_{xy}$ 的方程即 PDE。
- 阶：方程中出现的最高阶偏导数的阶。例如 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 是二阶。
- 线性 PDE：未知函数 $u$ 及其各偏导数均为一次，且系数只依赖于自变量。如
$$a(x,y)u_{xx}+b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+d(x,y)u_x+e(x,y)u_y+f(x,y)u=g(x,y).$$
其中 $u$ 不乘 $u$，也不出现 $u_x^2$、$u u_x$ 等非线性项。
- 拟线性 PDE：最高阶项系数只依赖于自变量与低阶项（但低阶项可非线性）。如一阶拟线性
$$a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=c(x,y,u).$$
- 半线性 / 完全非线性：依最高阶项是否线性进一步细分（如 $u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2=0$ 完全非线性）。
> 本模块聚焦线性二阶 PDE，因为它们有最完整的理论（叠加原理、分离变量、傅里叶方法）。
常见方程一览
| 方程 | 型 | 物理含义 |
|---|---|---|
| $u_t=\alpha u_{xx}$ | 抛物 | 热扩散、浓度扩散 |
| $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ | 双曲 | 波传播、振动 |
| $u_{xx}+u_{yy}=0$ | 椭圆 | 稳态温度、静电势 |
| $u_t+u u_x=0$ | 拟线性一阶 | 交通流、浅水波 |
二、两个自变量的二阶线性 PDE 与分类
最一般形式：
$$A\,u_{xx}+2B\,u_{xy}+C\,u_{yy}+D\,u_x+E\,u_y+F\,u=G,$$
其中 $A,B,C$ 为 $x,y$ 的函数（为简单先视为常数）。其类型由判别式
$$\Delta=B^2-A\,C$$
决定：
| 判别式 | 类型 | 典型方程 | 物理特征 |
|---|---|---|---|
| $\Delta>0$ | 双曲型 | $u_{tt}=c^2 u_{xx}$（波动） | 有特征线、信息传播 |
| $\Delta=0$ | 抛物型 | $u_t=\alpha u_{xx}$（热） | 单向演化、扩散、平滑 |
| $\Delta<0$ | 椭圆型 | $u_{xx}+u_{yy}=0$（拉普拉斯） | 无时间维、稳态、调和 |
分类的几何直觉：二次多项式 $A\,X^2+2B\,XY+C\,Y^2$ 的定型性，对应方程"沿某些方向有信息传播（双曲）""只沿一个方向演化（抛物）""各向同性无演化（椭圆）"。
例. 判断 $u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}=0$ 的类型。
$A=1,B=1,C=1\Rightarrow \Delta=1-1=0$，为抛物型（退化情形，对应热类）。
判别式的来源（特征线视角）
分类的本质是看方程沿哪些方向"传播信息"。对二阶主部
$$A\,u_{xx}+2B\,u_{xy}+C\,u_{yy}=0,$$
作自变量的可逆变换 $(x,y)\mapsto(\xi,\eta)$，使主部只余 $u_{\xi\xi}$、$u_{\xi\eta}$ 或 $u_{\eta\eta}$。方向 $dy/dx$ 满足的特征方程
$$A\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2B\left(\frac{dy}{dx}\right)+C=0.$$
其判别式正是 $B^2-AC$：
- $\Delta>0$：有两个相异实根方向 → 两条特征线 → 双曲型；
- $\Delta=0$：一个重根方向（退化） → 抛物型；
- $\Delta<0$：无实特征方向 → 椭圆型。
这说明"分类"不是人为约定，而是方程内在的几何结构。
三、定解条件与适定性
PDE 单独不能定解，还需定解条件。对一个含时间 $t$ 的问题，常见组合：
- 初值问题（Cauchy 问题）：给定 $t=0$ 时的状态 $u(x,0)=\varphi(x)$、$u_t(x,0)=\psi(x)$。波动方程需要初位移+初速度。
- 边值问题：在区域边界 $\partial\Omega$ 上给条件：
- Dirichlet 条件：$u|_{\partial\Omega}=g$（给定边界函数值，如边界温度）；
- Neumann 条件：$\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\partial\Omega}=h$（给定边界法向导数，如绝热/绝缘）；
- Robin 条件：混合 $a u+b\,u_n=c$。
- 混合问题：既有初值又有边界（如有限长杆的热传导：$u(x,0)=\varphi(x)$ 且两端 $u(0,t),u(L,t)$ 给定）。
三类边界条件对比
| 条件 | 数学形式 | 物理意义 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| Dirichlet | $u=g$ | 边界量已知 | 边界恒温、固定位移 |
| Neumann | $u_n=h$ | 边界通量已知 | 绝热、绝缘、自由端 |
| Robin | $a u+b\,u_n=c$ | 量与通量耦合 | 对流换热、弹性支撑 |
一个"好"的定解问题应具备适定性（Hadamard）：解存在、唯一、且连续依赖于定解数据。椭圆型多配边值，抛物/双曲型多配初值或混合条件——这正是分类的物理意义。
四、叠加原理
对线性齐次 PDE，若 $u_1,u_2$ 是解，则任意线性组合 $c_1u_1+c_2u_2$ 也是解；若右端非齐次 $Lu=G$，且 $G=G_1+G_2$，可分别求特解再相加。叠加原理是分离变量法与傅里叶级数能"拼"出一般解的根本原因。
叠加原理的两个层次
1. 齐次方程：解的线性组合仍是解。这是傅里叶级数"逐模态叠加"合法性的基础。
2. 非齐次方程：若 $Lu_1=G_1,\ Lu_2=G_2$，则 $u_1+u_2$ 满足 $L(u_1+u_2)=G_1+G_2$。因此非齐次问题可拆成"齐次解 + 特解"。
五、例题与解答
例题1（分类）. 分类 $u_{xx}+u_{yy}=u_t$（一维热+源的空间项）。
把它写成对 $(x,t)$ 的二阶方程：$u_{xx}+0\cdot u_{xt}-u_t$ 中时间只出现一阶，故对 $(x,t)$ 是"二阶对 $x$、一阶对 $t$"。标准二阶两变量形式取变量 $(x,t)$：$A=1,B=0,C=0\Rightarrow \Delta=0$，抛物型——正是热方程类。
例题2（定解条件匹配）. 一根长 $L$ 的均匀杆，一端恒温 $0$、一端恒温 $T_0$，初始温度分布 $\varphi(x)$。写出定解问题。
$$\begin{cases}u_t=\alpha u_{xx},&0 这是典型的抛物型混合问题。 例题3（分类与特征）. 判断 $u_{tt}-4u_{xx}=0$ 的类型并写出特征线。 视变量为 $(t,x)$，则 $A=-4,\ B=0,\ C=1$（对应 $C u_{tt}+2B u_{tx}+A u_{xx}$），或用 $(x,t)$ 记 $u_{xx}-4u_{tt}=0$ 得 $A=1,B=0,C=-4$，$\Delta=0-(-4)=4>0$，双曲型。特征方程 $dx/dt=\pm 2$，即 $x-2t=\text{const}$ 与 $x+2t=\text{const}$ 两族特征线，波速 $c=2$。 例题4（Neumann 条件的物理）. 一根绝热长杆，两端绝热，初值 $\varphi(x)$。应选何种边界条件？ 绝热意味着边界无热流，即法向导数为 $0$：$u_x(0,t)=0,\ u_x(L,t)=0$（Neumann 条件）。由于无热量进出，总热量守恒，温度最终趋于初始平均温度 $\frac1L\int_0^L\varphi(x)\,dx$。
练习
1. 判断下列方程类型（双曲/抛物/椭圆）：(a) $u_{tt}=9u_{xx}$；(b) $u_t=u_{xx}+u_{yy}$；(c) $u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=0$。
2. 一根长 $L$ 的杆，左端恒温 $0$、右端绝热，初值 $\varphi(x)$。写出定解问题（注明每个条件类型）。
3. 设 $u_1$ 满足 $u_t=\alpha u_{xx}$，$u_2$ 满足 $u_t=\alpha u_{xx}+f(x,t)$。利用叠加原理，说明如何由它们构造 $u_t=\alpha u_{xx}+2f(x,t)$ 的解。
4. 对 $u_{xx}+u_{yy}=0$，为什么只需边界条件、不需要初值？
参考答案与提示
1. (a) 双曲（$\Delta=9>0$）；(b) 抛物（时间一阶、空间二阶，主部判别式为 $0$）；(c) 抛物（$\Delta=(-1)^2-1\cdot1=0$）。
2. $\begin{cases}u_t=\alpha u_{xx},&0 3. 由线性性，$u=u_1+u_2$ 满足 $u_t=\alpha u_{xx}+f$；再叠加一次得 $u_1+2u_2$ 满足右端 $2f$。 4. 椭圆型无时间维，描述"处处已达平衡"的稳态场，只由边界值唯一确定（极值原理/最大值原理保证唯一性），故无需、也不存在初值。
本章小结
- PDE 按最高阶偏导的线性结构分类；两变量二阶线性由 $\Delta=B^2-AC$ 判为双曲/抛物/椭圆。
- 三类对应热（扩散）、波（传播）、拉普拉斯（稳态）三大物理过程。
- 解 PDE 须配定解条件；线性齐次方程满足叠加原理，是后续分离变量法的基础。
- 分类由特征线结构决定：双曲有两条实特征线、抛物一条、椭圆无实特征线。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
二阶 PDE 分类：判别式 Δ=B²−A·C。拖动 A/B/C 观察类型变化。