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§1

微分方程的价值在于"建模"：把物理定律写成未知函数与其导数的关系，再用前述解法预测系统演化。本章用四个经典模型串联力学、电学、流体与生命科学。

本章目标

• 会用牛顿第二定律建立弹簧-质量-阻尼系统的二阶方程。
• 会用基尔霍夫电压定律建立 RC 电路的充放电方程。
• 理解落体受空气阻力时的速度极限（终端速度）。
• 掌握 Logistic 种群模型及其饱和行为，体会"建模即取舍"。

一、弹簧-质量-阻尼系统

对质量为 $m$ 的物体，受弹簧恢复力 $-ky$、阻尼力 $-c y'$，由牛顿第二定律：

$$m y''+c y'+k y=0.$$

令 $\omega_0=\sqrt{k/m}$，$\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$，标准形式为

$$y''+2\zeta\omega_0 y'+\omega_0^2 y=0.$$

• $\zeta<1$：衰减振荡，最终静止；
• $\zeta\ge 1$：过阻尼/临界，单调回归平衡。

这是机械振动、汽车悬架、地震工程的基础方程。下方画板调节 $\zeta,\omega_0$ 即可观察振型。

二、RC 串联电路

电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，由电源 $V_0$ 充电。电容电压 $V_C$ 满足（基尔霍夫定律）：

$$R C\,\frac{dV_C}{dt}+V_C=V_0\quad\Longrightarrow\quad \frac{dV_C}{dt}=\frac{V_0-V_C}{RC}.$$

令时间常数 $\tau=RC$，解为

$$V_C(t)=V_0\big(1-e^{-t/\tau}\big).$$

$\tau$ 越大充电越慢。下方画板调节 $\tau$ 观察充电曲线。

三、落体 with 空气阻力

质量为 $m$ 的物体下落，重力 $mg$ 向下，空气阻力（线性模型）$-kv$ 向上：

$$m\frac{dv}{dt}=mg-kv\quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v.$$

解为

$$v(t)=\frac{mg}{k}\big(1-e^{-kt/m}\big).$$

当 $t\to\infty$，$v\to v_\infty=\dfrac{mg}{k}$——即终端速度，阻力与重力平衡。雨滴、跳伞均受其限制。

四、Logistic 种群模型

指数增长 $\dfrac{dP}{dt}=rP$ 会无限膨胀，不现实。引入环境容量 $K$（资源上限），得 Logistic 模型：

$$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right).$$

• $P\ll K$ 时近似指数增长；
• $P\to K$ 时增长趋零，种群稳定在 $K$。

解为

$$P(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{P_0}-1\right)e^{-rt}}.$$

下方画板调节内禀增长率 $r$ 与容量 $K$，观察 S 形饱和曲线。

五、例题与解答

例题1（弹簧·临界阻尼判定）

质量 $m=1$、弹簧 $k=4$ 的系统，阻尼系数 $c$ 取何值时恰好临界阻尼？

解： $\omega_0=\sqrt{k/m}=2$。临界阻尼要求 $\zeta=1$，即 $c=2\sqrt{mk}=2\sqrt{4}=4$。故 $c=4$ 时临界阻尼。

例题2（RC 充电时间）

若 $R=10\,\mathrm{k\Omega},\ C=100\,\mu\mathrm{F}$，求电容电压达到 $0.9V_0$ 所需时间。

解： $\tau=RC=10^4\times 10^{-4}=1\,\mathrm{s}$。由 $1-e^{-t/\tau}=0.9\Rightarrow e^{-t}=0.1\Rightarrow t=\tau\ln 10\approx 2.30\,\mathrm{s}$。

例题3（终端速度）

跳伞者质量 $m=80\,\mathrm{kg}$，阻力系数 $k=12\,\mathrm{kg/s}$，$g=9.8$。求终端速度。

解： $v_\infty=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{80\times 9.8}{12}\approx 65.3\,\mathrm{m/s}$（约 $235\,\mathrm{km/h}$；开伞后 $k$ 骤增，终端速度大幅下降）。

六、本章小结

• 力学：$m y''+c y'+k y=0$ 描述阻尼振动；电学：$RC\,\dot V_C+V_C=V_0$ 描述充放电。
• 落体阻力模型给出终端速度 $v_\infty=mg/k$。
• Logistic 模型 $\dot P=rP(1-P/K)$ 引入容量 $K$，解呈 S 形饱和。
• 建模本质是"用最简方程抓住主导因素"：每加一项（阻尼、容量）都是对现实的进一步逼近。

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