§1
许多定积分 $\displaystyle I=\int_a^b f(x)\,dx$ 的原函数无法初等表示（如 $\int e^{-x^2}dx$、$\int\frac{\sin x}{x}dx$），或 $f$ 仅以离散数据给出。数值积分用被积函数在若干节点的值作加权平均来近似 $I$：
$$I\approx\sum_{i=0}^{n}w_i\,f(x_i),$$
目标是在尽量少的函数求值下获得高精度。
一、牛顿–柯特斯公式
在等距节点上用插值多项式代换 $f$ 再积分，得到牛顿–柯特斯族。
梯形公式（线性插值，两点）：
$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{2}\big[f(a)+f(b)\big].$$
代数精度为 $1$（对一次多项式精确）。
辛普森公式（二次插值，需偶数子区间，三点 $[a,(a+b)/2,b]$）：
$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$$
代数精度为 $3$（对三次多项式精确，因为对称抵消奇次误差项）。
二、复合公式
把 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个子区间（步长 $h=(b-a)/n$），逐段套用低阶公式。
复合梯形：
$$\int_a^b f\,dx\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right],\qquad h=\frac{b-a}{n}.$$
误差 $O(h^2)$：$E_T=-\dfrac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$。
复合辛普森（要求 $n$ 偶数）：
$$\int_a^b f\,dx\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{奇}}f(x_i)+2\sum_{\text{偶}}f(x_i)+f(x_n)\right].$$
误差 $O(h^4)$：$E_S=-\dfrac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$。
可见辛普森因拟合阶高，误差阶显著更优。
三、高斯求积
牛顿–柯特斯节点固定为等距；高斯求积同时优化节点 $\{x_i\}$ 与权 $\{w_i\}$，使 $n$ 个节点达到 $2n-1$ 阶代数精度（普通 $n$ 点公式仅 $n$ 阶）。以 Gauss–Legendre 为例，区间 $[-1,1]$ 上取 $n=2$ 时：
节点 $x_{1,2}=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$，权 $w_1=w_2=1$，
$$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx f\!\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+f\!\left(\frac{1}{\sqrt3}\right).$$
它对任意三次多项式精确。高斯法在函数求值昂贵时特别划算，但节点非等距、不便复合。
四、方法对比
| 方法 | 代数精度 | 误差阶 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 梯形 | $1$ | $O(h^2)$ | 最简单 |
| 辛普森 | $3$ | $O(h^4)$ | 常用、高效 |
| 复合梯形 | $1$ | $O(h^2)$ | 易实施 |
| 复合辛普森 | $3$ | $O(h^4)$ | 精度高 |
| Gauss-Legendre($n=2$) | $3$ | — | 节点最优、非等距 |
五、例题与解答
例题1（复合梯形与辛普森）. 计算 $\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx=2$（精确值），取 $n=4$，$h=\pi/4$。节点值：
| $x_i$ | 0 | $\pi/4$ | $\pi/2$ | $3\pi/4$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x_i$ | 0 | $0.7071$ | $1$ | $0.7071$ | 0 |
复合梯形：
$$T_4=\frac{h}{2}\big[0+2(0.7071+1+0.7071)+0\big]=\frac{\pi/4}{2}\cdot4.8282\approx1.8961.$$
误差 $|2-1.8961|\approx0.1039$。
复合辛普森（$n=4$ 偶数）：
$$S_4=\frac{h}{3}\big[0+4(0.7071+0.7071)+2(1)+0\big]=\frac{\pi/4}{3}\cdot(5.6568+2)=\frac{\pi/4}{3}\cdot7.6568\approx2.0046.$$
误差 $|2-2.0046|\approx0.0046$，远小于梯形，符合 $O(h^4)$ 优于 $O(h^2)$。✓
例题2（为何辛普森误差阶更高）. 梯形用线性（一次）插值逼近 $f$，其局部截断误差由 $f''$ 控制，故整体 $O(h^2)$。辛普森在每个双子区间用二次（抛物线）插值，由于抛物对称，三次项误差也被抵消，截断误差由四阶导数控制，整体达 $O(h^4)$。拟合阶每高一阶、并借助对称性消除奇次误差项，是高阶公式更精确的本质原因。✓
练习
1. 用复合梯形 $n=4$ 计算 $\int_0^1 x^2\,dx$（精确值 $1/3$），给出误差。
2. 用复合辛普森 $n=2$ 计算 $\int_0^2 x^3\,dx$，结果是否精确？为什么？
3. 写出梯形公式的代数精度并说明理由。
4. 为何高斯求积 $n$ 个节点能达到 $2n-1$ 阶代数精度？
参考答案与提示
1. $h=0.25$，节点值 $0,0.0625,0.25,0.5625,1$；$T_4=0.25/2\cdot[0+2(0.0625+0.25+0.5625)+1]=0.328125$，误差约 $0.0052$。
2. $\int_0^2x^3dx=4$；$n=2,h=1$，$S_2=1/3[0+4\cdot1+8]=4$，精确，因辛普森代数精度 3，对三次多项式精确。
3. 代数精度 1：对 $f(x)=1,x$ 精确；对 $x^2$ 有误差，故最高 1 次。
4. 同时优化节点与权，使误差在 $2n$ 个条件（至 $2n-1$ 次单项式）上为零，故达 $2n-1$ 阶。
本章小结
- 数值积分用节点加权和近似定积分，用于无初等原函数情形。
- 梯形（精度 1）、辛普森（精度 3）是最基础的牛顿–柯特斯公式。
- 复合梯形误差 $O(h^2)$，复合辛普森 $O(h^4)$。
- 高斯求积优化节点与权，达 $2n-1$ 阶代数精度。
- 实际计算优先复合辛普森；函数求值昂贵时考虑高斯法。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
复合辛普森求积：用分段抛物线近似积分面积，对比精确积分，误差随区间数增大而减小。