一、向量空间与子空间
设 $V$ 是一个非空集合，其元素称为向量，若在其中定义了加法与数乘（标量取自域 $\mathbb{F}$，实数域下记作 $\mathbb{R}$），且满足下列八条公理：对任意 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$ 与 $k,l\in\mathbb{F}$，
- (A1) 加法封闭：$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in V$；
- (A2) 加法结合律：$(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})$；
- (A3) 加法交换律：$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}$；
- (A4) 零元存在：存在 $\boldsymbol{0}\in V$ 使 $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{v}$；
- (A5) 负元存在：对每个 $\boldsymbol{v}$ 存在 $-\boldsymbol{v}\in V$ 使 $\boldsymbol{v}+(-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$；
- (A6) 数乘封闭：$k\boldsymbol{v}\in V$；
- (A7) 幺元：$1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$；
- (A8) 数乘分配律：$k(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=k\boldsymbol{u}+k\boldsymbol{v}$，$(k+l)\boldsymbol{v}=k\boldsymbol{v}+l\boldsymbol{v}$，$(kl)\boldsymbol{v}=k(l\boldsymbol{v})$。
则称 $V$ 为（域 $\mathbb{F}$ 上的）向量空间。例如 $\mathbb{R}^n$、多项式空间 $P_n$、矩阵空间 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 都是向量空间。
若 $W\subseteq V$ 非空，且对 $V$ 中的加法与数乘同样封闭，则 $W$ 称为 $V$ 的子空间。判别子空间的简便准则（零元可由 $0\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}$ 自动推出，故只需验证后两条）：
$$W\ne\varnothing,\ \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in W\Rightarrow \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in W,\quad k\boldsymbol{u}\in W$$
子空间判别例：在 $\mathbb{R}^3$ 中，$W=\{(x,y,z)^\top:x+y+z=0\}$ 是过原点的平面。任取 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in W$ 有坐标和均为 $0$，则 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ 与 $k\boldsymbol{u}$ 的坐标和仍为 $0$，故 $W$ 是子空间。而 $W'=\{(x,y,z)^\top:x+y+z=1\}$ 不含零元，不是子空间。
二、线性组合与线性相关/无关
设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m\in V$。若存在标量 $k_1,\dots,k_m$ 使
$$\boldsymbol{\beta}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m$$
则称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由该向量组线性表示；这些向量的全体线性组合构成它们的张成空间 $\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m\}$。
若存在不全为 $0$ 的标量使 $\sum k_i\boldsymbol{\alpha}_i=\boldsymbol{0}$，则称该向量组线性相关；否则（仅当全为 0 时成立）称线性无关。
> 含零向量的向量组必线性相关；两个向量线性相关 $\iff$ 它们成比例。在 $\mathbb{R}^n$ 中，向量个数多于 $n$ 的向量组必线性相关。
判别步骤：将待判定向量组按列排成矩阵，用初等行变换化为阶梯形；主元列对应线性无关，秩等于主元个数。若在 $\mathbb{R}^n$ 中向量个数 $m\gt n$，由“个数多于维数必相关”可直接判定相关。
三、极大无关组
向量组的一个极大线性无关组是指：它本身线性无关，且再添入原组中任一其他向量就变为线性相关。极大无关组的向量个数称为该向量组的秩。
$$\operatorname{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m\}=\text{极大无关组所含向量个数}$$
同一向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量，因此秩是良定义的。矩阵的列秩等于其行秩，统称为矩阵的秩。求极大无关组的方法：将向量作列构成矩阵并化为行最简形，主元所在列即为一极大无关组，其余列可由其线性表示。
四、基、维数与坐标
若向量空间 $V$ 中存在 $n$ 个线性无关的向量 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$，且 $V$ 中任一向量都可由它们线性表示，则称这组向量为 $V$ 的一组基，$n$ 称为 $V$ 的维数，记作 $\dim V=n$。
给定基 $\mathcal{B}=\{\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n\}$，任意 $\boldsymbol{v}\in V$ 可唯一表示为
$$\boldsymbol{v}=x_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n,\qquad [\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$$
列向量 $(x_1,\dots,x_n)^\top$ 称为 $\boldsymbol{v}$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标。
> 同一向量在不同基下的坐标是不同的；坐标本质上是“用基线性表示时的系数”。多项式空间 $P_2=\{a+bx+cx^2\}$ 的维数为 $3$，标准基可取 $\{1,x,x^2\}$。
五、基变换与过渡矩阵
设 $\mathcal{B}=\{\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n\}$ 与 $\mathcal{B}'=\{\boldsymbol{e}'_1,\dots,\boldsymbol{e}'_n\}$ 是 $V$ 的两组基，且
$$(\boldsymbol{e}'_1,\dots,\boldsymbol{e}'_n)=(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n)C$$
其中 $n$ 阶矩阵 $C$ 称为由基 $\mathcal{B}$ 到基 $\mathcal{B}'$ 的过渡矩阵（其列向量是新基在旧基下的坐标）。同一向量在两组基下的坐标满足
$$[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=C\,[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}'}$$
过渡矩阵 $C$ 必可逆，因此两组基等价地互相表示。若已知向量在 $\mathcal{B}'$ 下的坐标，则左乘 $C$ 即得在 $\mathcal{B}$ 下的坐标；反之 $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}'}=C^{-1}[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}$。
六、交互模拟
把矩阵 $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的两列看作 $\mathbb{R}^2$ 中的两个基向量 $\boldsymbol{e}'_1=(a,c)^\top,\ \boldsymbol{e}'_2=(b,d)^\top$。当 $\det M=ad-bc\neq0$ 时两列线性无关，构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基、张成整个平面；当 $\det M=0$ 时两列共线，仅张成一条直线（秩为 1），不能作基。
例题与解答
例题1（判断相关性） 判断 $\mathbb{R}^3$ 中 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^\top,\ \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,0)^\top,\ \boldsymbol{\alpha}_3=(3,3,1)^\top$ 是否线性相关。
解：设 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$，得方程组
$$\begin{cases}k_1+2k_2+3k_3=0,\\ 2k_1+k_2+3k_3=0,\\ k_1+0k_2+k_3=0.\end{cases}$$
由第三式 $k_1=-k_3$，代入前两式得 $k_2+k_3=0$ 与 $-k_2+k_3=0$，故 $k_2=k_3=0$，从而 $k_1=0$。只有零解，故向量组线性无关。
例题2（求坐标） 在基 $\mathcal{B}=\{\boldsymbol{e}_1=(1,1)^\top,\ \boldsymbol{e}_2=(1,-1)^\top\}$ 下，求 $\boldsymbol{v}=(3,1)^\top$ 的坐标。
解：设 $\boldsymbol{v}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2$，即
$$\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_1-x_2\end{pmatrix}.$$
解得 $x_1+x_2=3,\ x_1-x_2=1$，相加得 $2x_1=4\Rightarrow x_1=2$，于是 $x_2=1$。故 $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$。
例题3（判别子空间） 判断 $W=\{f\in P_2:f(1)=0\}$ 是否为 $P_2$ 的子空间。
解：$P_2$ 中多项式 $f(x)=a+bx+cx^2$，条件 $f(1)=a+b+c=0$。取零多项式满足；若 $f,g\in W$，则 $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0$，对 $k\in\mathbb{R}$ 有 $(kf)(1)=kf(1)=0$。故对加法与数乘均封闭，$W$ 是 $P_2$ 的子空间（其维数为 $2$，基可取 $\{x-1,x^2-1\}$）。
例题4（求过渡矩阵） 在 $\mathbb{R}^2$ 中，旧基 $\mathcal{B}$ 为标准基，新基 $\mathcal{B}'=\{(1,1)^\top,(1,-1)^\top\}$。求过渡矩阵 $C$ 及 $\boldsymbol{v}=(3,1)^\top$ 在 $\mathcal{B}'$ 下的坐标。
解：新基向量在旧基（标准基）下的坐标即其自身，故
$$C=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$
由 $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=C[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}'}$，且 $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=(3,1)^\top$，得
$$[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}'}=C^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.$$
与例题2结果一致。
练习
1. 判断 $W=\{(x,y,z)^\top:2x-y+z=0\}$ 是否为 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，并说明理由。
2. 设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^\top,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,1)^\top,\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,2)^\top$，判断其线性相关性，并求其秩。
3. 在 $\mathbb{R}^2$ 中取基 $\mathcal{B}=\{(2,1)^\top,(1,1)^\top\}$，求 $\boldsymbol{v}=(5,3)^\top$ 在 $\mathcal{B}$ 下的坐标。
提示/答案
- 1. 是子空间：满足过原点平面的线性条件，对加减与数乘封闭。
- 2. 因 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$，故线性相关；极大无关组可取 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\}$，秩为 $2$。
- 3. 设 $\boldsymbol{v}=x_1(2,1)^\top+x_2(1,1)^\top$，解得 $x_1=2,\ x_2=1$，坐标为 $(2,1)^\top$。
本章小结
- 向量空间对加法与数乘封闭且含零元；子集构成子空间须自身封闭。
- 线性相关/无关判别核心：齐次方程是否只有零解。
- 极大无关组确定向量组的秩；同一组秩唯一。
- 基是线性无关且能表示全空间的向量组；维数 = 基中向量个数。
- 坐标是向量在给定基下的唯一系数；基变换由过渡矩阵 $C$ 联系，坐标满足 $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}}=C[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{B}'}$。
互动演示
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