一、二次型与矩阵表示
含 $n$ 个变量 $x_1,\dots,x_n$ 的二次齐次多项式称为二次型：
$$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j,\qquad a_{ij}=a_{ji}$$
引入列向量 $x=(x_1,\dots,x_n)^\top$ 与对称矩阵 $A=(a_{ij})$，二次型可写为矩阵形式
$$f(x)=x^T A x$$
例如 $f(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2$ 对应 $A=\begin{pmatrix}2&2\\2&3\end{pmatrix}$，其中交叉项系数平分到对称位置。
> 约定 $a_{ij}=a_{ji}$，使二次型与对称矩阵 $A$ 一一对应。非对称表示不唯一，故必须取对称阵。
对称化的写法：若直接写出非对称系数 $b_{ij}$，应将其对称化为 $a_{ij}=\dfrac{b_{ij}+b_{ji}}{2}$，确保 $A=A^T$。例如 $f=3x_1x_2$ 对应 $A=\begin{pmatrix}0&3/2\\3/2&0\end{pmatrix}$。
二、标准形
通过可逆线性变换 $x=Cy$（$C$ 可逆），二次型化为只含平方项的形式
$$f=d_1 y_1^2+\cdots+d_r y_r^2,\qquad r=\operatorname{rank}A$$
配方法： 逐次对某个变量配方消去交叉项。例：$f=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2=(x_1+x_2)^2+2x_2^2$，令 $y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2$ 即标准形。
正交变换法： 取 $A$ 的正交特征向量矩阵 $Q$，令 $x=Qy$，则 $f=y^T(Q^TAQ)y=\lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$，系数为特征值。
> 配方法得到的标准形系数不唯一（依赖配方次序）；正交变换法给出的系数是 $A$ 的特征值（保长度变换）。
配方法的完整步骤（以三元为例）：(1) 集中含 $x_1$ 的所有项配方；(2) 若剩余项仍含 $x_2$ 交叉项，继续对 $x_2$ 配方；(3) 令新变量为各配方括号内的表达式，得到可逆变换 $x=Cy$；(4) 写出标准形并读出秩与正惯性指数。
三、合同变换
设 $x=Cy$（$C$ 可逆），则
$$f=x^T A x=(Cy)^T A (Cy)=y^T(C^T A C)y$$
记 $B=C^TAC$。若存在可逆阵 $C$ 使 $B=C^TAC$，称 $A$ 与 $B$ 合同。合同关系保持秩与正惯性指数。化标准形即找 $C$ 使 $C^TAC$ 为对角阵。
> 合同 $\neq$ 相似：相似用 $C^{-1}AC$，合同用 $C^TAC$。正交变换下因 $Q^{-1}=Q^T$，二者结果一致。
合同的不变量：秩 $r$、正惯性指数 $p$、负惯性指数 $q$ 在合同变换下均保持不变；而特征值一般改变（除非正交变换）。因此两个二次型能否互化，只看 $(p,q)$ 是否相同。
四、正定性
若对任意 $x\ne 0$ 都有 $f(x)=x^TAx>0$，称二次型（及对称阵 $A$）正定。
$$A\text{ 正定}\iff \Delta_k=\det A_k>0\ (k=1,\dots,n)$$
其中 $A_k$ 为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子阵。等价条件：$A$ 的特征值全为正；或存在可逆阵 $P$ 使 $A=P^TP$。
> 负定要求顺序主子式符号交替（奇负偶正）；半正定则是所有主子式 $\ge0$。
各类定号的判别汇总如下：
| 类型 | 顺序主子式 $\Delta_k$ | 特征值 | 惯性指数 |
|---|---|---|---|
| 正定 | 全部 $>0$ | 全为正 | $p=n,\ q=0$ |
| 负定 | 符号交替，奇负偶正 | 全为负 | $p=0,\ q=n$ |
| 半正定 | 各阶主子式 $\ge0$ | 全 $\ge0$ | $q=0$ |
| 不定 | 不满足上述 | 正负均有 | $p\gt0,\ q\gt0$ |
五、规范形与惯性定理
适当缩放后，正定二次型可化为只含 $\pm1$ 系数的形式：
$$f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$$
惯性定理： 规范形中正、负平方项的个数 $p,q$ 由 $A$ 唯一决定，分别称为正、负惯性指数，且 $p+q=\operatorname{rank}A$。$p$ 即为正特征值的个数。
> 惯性定理说明：无论用何种可逆变换化标准形，正、负平方项个数不变；这是合同分类的理论基础。
六、交互模拟
对称矩阵 $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}$。当 $ad-b^2>0$ 且 $a>0$ 时变换把单位网格保持同向且撑开（正定），否则出现翻转或压扁。正定条件：$a>0$ 且 $\det A=ad-b^2>0$。
例题与解答
例题1（化标准形） 用配方法化 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 为标准形。
解：先对 $x_1$ 配方：
$$f=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2x_3+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2-x_3)^2.$$
令 $y_1=x_1+x_2+x_3,\ y_2=x_2-x_3,\ y_3=x_3$，则标准形为 $f=y_1^2+y_2^2$，故 $r=2$，正惯性指数 $p=2$。
例题2（判定正定） 判别 $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$ 是否正定。
解：计算顺序主子式：
$$\Delta_1=2>0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=3>0,\quad \Delta_3=\det A=4>0.$$
三级顺序主子式全为正，故 $A$ 正定。
例题3（正交变换化标准形） 用正交变换化 $f=2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2$ 为标准形。
解：对应 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。特征方程 $\det(A-\lambda I)=(\lambda-1)(\lambda-3)=0$，特征值 $\lambda_1=1,\lambda_2=3$。取对应单位正交特征向量组成 $Q$，令 $x=Qy$，则
$$f=y^T(Q^TAQ)y=1\cdot y_1^2+3\cdot y_2^2.$$
标准形系数为特征值，正惯性指数 $p=2$，故 $A$ 正定。
例题4（判别不定） 判别 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 的定号性。
解：顺序主子式 $\Delta_1=1>0,\Delta_2=-1<0$，不满足全正也不满足符号交替（负定要求奇负偶正，这里 $\Delta_2$ 应为正）。特征值 $1,-1$ 一正一负，故为不定；惯性指数 $p=1,q=1$。
练习
1. 用配方法化 $f=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3$ 为标准形，并给出秩与正惯性指数。
2. 判别 $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ 是否正定。
3. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，求其惯性指数并判断定号性。
提示/答案
- 1. $f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2$，秩 $r=2$，正惯性指数 $p=2$（半正定）。
- 2. 顺序主子式 $3>0,\ 8>0$，正定。
- 3. $\det A=0$，秩 $1$；特征值 $0,5$，故半正定，惯性指数 $p=1,q=0$。
本章小结
- 二次型 $\Leftrightarrow$ 对称矩阵：$f(x)=x^TAx$。
- 标准形只含平方项；配方法灵活、正交变换法系数为特征值。
- 合同变换 $A\to C^TAC$ 保秩与正惯性指数。
- 正定判定：顺序主子式全 $>0$（或特征值全 $>0$）。
- 规范形由惯性定理唯一确定，正/负惯性指数 $p,q$ 与 $A$ 一一对应。
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