§1
矩阵是把"一组线性方程"或"一组向量"压缩成一张数表的工具。通过矩阵运算，线性方程组的求解被统一为行变换与矩阵求逆的算法问题。
本章目标
- 理解矩阵的概念与基本运算（加、数乘、乘法、转置）。
- 掌握逆矩阵的定义与求法（伴随矩阵、初等行变换）。
- 会用高斯消元法求解线性方程组。
- 理解矩阵的秩及其在判断解的存在性中的作用。
一、矩阵的概念
定义. 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列矩形数表
$$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$$
称为 $m\times n$ 矩阵，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。元素全为 0 的矩阵叫零矩阵 $O$。行数 = 列数的矩阵叫方阵。
特殊矩阵：
- 单位矩阵 $I$（主对角线为 1，其余为 0）；
- 对角矩阵（非对角元全为 0）；
- 对称矩阵（$A^\top=A$）；
- 三角矩阵（上/下三角元为 0）。
二、矩阵的运算
加法与数乘：同型矩阵对应元素相加；数乘即每个元素乘以该数。满足交换律、结合律、分配律。
乘法：若 $A$ 是 $m\times p$ 矩阵，$B$ 是 $p\times n$ 矩阵，则乘积 $C=AB$ 是 $m\times n$ 矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj},\qquad (i=1,\dots,m;\ j=1,\dots,n).$$
注意：矩阵乘法一般不满足交换律（$AB\neq BA$ 常成立），也不满足消去律；但满足结合律 $(AB)C=A(BC)$ 与分配律 $A(B+C)=AB+AC$。
例（计算 $AB$）：
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}.$$
三、转置与分块
转置 $A^\top$（或 $A^T$）是把 $A$ 的行与列互换：$(A^\top)_{ij}=a_{ji}$。性质：
$(A^\top)^\top=A,\ (A+B)^\top=A^\top+B^\top,\ (AB)^\top=B^\top A^\top,\ (kA)^\top=kA^\top$。
四、逆矩阵
定义. 对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在方阵 $B$ 使 $AB=BA=I$，则称 $A$ 可逆，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。
$A$ 可逆的充要条件：$\det A\neq0$（即 $A$ 非奇异）。
伴随矩阵法：设 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，则伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)=(A_{ji})$，且有
$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).$$
初等行变换法（更实用）：对增广矩阵 $(A\mid I)$ 作初等行变换，当左侧变为 $I$ 时，右侧即为 $A^{-1}$：
$$(A\mid I)\xrightarrow{\text{行变换}}(I\mid A^{-1}).$$
逆矩阵性质：$(A^{-1})^{-1}=A,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ (A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top$。
五、线性方程组与高斯消元
$n$ 元线性方程组可写为矩阵形式
$$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},\qquad A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}.$$
当 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$ 时为齐次方程组。
高斯消元法：对增广矩阵 $(A\mid\boldsymbol{b})$ 作三种初等行变换——交换两行、某行乘非零常数、某行的倍数加到另一行——将其化为行阶梯形（进而化为简化行阶梯形），再回代求解。
解的判定（设 $A$ 为 $m\times n$，$\operatorname{rank}$ 为秩）：
- $r(A)=r(A\mid\boldsymbol{b})=n$ ⇒ 有唯一解；
- $r(A)=r(A\mid\boldsymbol{b})
- $r(A)
- $r(A)
齐次方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 恒有零解；有非零解 ⇔ $r(A)
六、矩阵的秩
定义. 矩阵 $A$ 的秩 $\operatorname{rank}(A)$（记作 $r(A)$）是其最高阶非零子式的阶数，也等于行阶梯形中非零行的行数。
性质：$r(A)\le\min(m,n)$；初等变换不改变秩；$r(AB)\le\min(r(A),r(B))$。
例题1
设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求 $A^{-1}$。
解： $\det A=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\neq0$，故 $A$ 可逆。二阶矩阵伴随公式：$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，其中 $a=1,b=2,c=3,d=4$：
$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.$$
验证：$AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-2+3&1-1\\-6+6&3-2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.$ ✓
例题2
用高斯消元法解
$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6,\\ 2x_1+3x_2+x_3=11,\\ x_1-x_2+x_3=2.\end{cases}$$
解： 增广矩阵
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&3&1&11\\ 1&-1&1&2 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-1&-1\\ 0&-2&0&-4 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3+2R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-1&-1\\ 0&0&-2&-6 \end{array}\right).$$
回代：$x_3=3$；$x_2-(-1)(-1)$ 即 $x_2-1=-1\Rightarrow x_2=0$？注意第二行 $x_2-x_3=-1\Rightarrow x_2-3=-1\Rightarrow x_2=2$；第一行 $x_1+x_2+x_3=6\Rightarrow x_1+2+3=6\Rightarrow x_1=1$。
故解为 $(x_1,x_2,x_3)=(1,2,3)$。
本章小结
- 矩阵是数表；运算含加法、数乘、乘法，其中乘法需"前列数=后行数"，且一般不可交换。
- 转置满足 $(AB)^\top=B^\top A^\top$；乘法注意顺序。
- 方阵可逆 ⇔ $\det A\neq0$；求逆可用伴随矩阵 $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ 或初等行变换 $(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$。
- 线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 用高斯消元化为行阶梯形；判解看 $r(A)$ 与 $r(A\mid\boldsymbol{b})$。
- 矩阵的秩 = 最高阶非零子式的阶数 = 行阶梯形非零行数，决定解的个数。
> 可视化联系：矩阵乘法可视为对空间的线性变换（旋转、伸缩、剪切）；在 AI-Math 的 ComplexViz 中可观察矩阵如何作用于复平面上的向量。
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