本章目标
- 理解矩阵的概念与基本运算（加、数乘、乘法、转置）。
- 掌握逆矩阵的定义与求法（伴随矩阵、初等行变换）。
- 会用高斯消元法求解线性方程组。
- 理解矩阵的秩及其在判断解的存在性中的作用。
一、矩阵的概念
由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列矩形数表称为 $m\times n$ 矩阵，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。元素全为 $0$ 的矩阵叫零矩阵 $O$；行数 = 列数的矩阵叫方阵。
矩阵的一般形式
$$A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}$$
特殊矩阵：单位矩阵 $I$（主对角线为 1，其余为 0）、对角矩阵、对称矩阵（$A^\top=A$）、三角矩阵。
二、矩阵的运算
加法、数乘按对应元素进行。乘法：若 $A$ 为 $m\times p$，$B$ 为 $p\times n$，则 $C=AB$ 为 $m\times n$，其元素
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj},\qquad (i=1,\dots,m;\ j=1,\dots,n).$$
矩阵乘法一般不满足交换律（$AB \neq BA$ 常成立），也不满足消去律；但满足结合律 $(AB)C=A(BC)$ 与分配律 $A(B+C)=AB+AC$。
示例：$AB$ 的计算
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$$
三、转置与分块
转置 $A^\top$：行列互换，$(A^\top)_{ij}=a_{ji}$
$$(A^\top)^\top = A,\quad (A+B)^\top = A^\top + B^\top,\quad (AB)^\top = B^\top A^\top,\quad (kA)^\top = k A^\top$$
四、逆矩阵
对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在 $B$ 使 $AB=BA=I$，则称 $A$ 可逆，$B$ 记作 $A^{-1}$。
可逆的充要条件
$$A\text{ 可逆} \iff \det A \neq 0\ (\text{即 }A\text{ 非奇异})$$
伴随矩阵法
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A),\quad \text{其中 }\operatorname{adj}(A)=(A_{ji})$$
初等行变换法（实用）
$$(A\mid I)\xrightarrow{\text{行变换}}(I\mid A^{-1})$$
性质：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，$(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top$。
五、线性方程组与高斯消元
$n$ 元线性方程组可写为矩阵形式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$。当 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$ 时为齐次方程组。
$$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},\qquad A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}.$$
解的判定（$r$ 为秩）
$$r(A)=r(A\mid\boldsymbol{b})=n\ \Rightarrow\ \text{唯一解};\quad r(A)=r(A\mid\boldsymbol{b})<n\ \Rightarrow\ \text{无穷多解};\quad r(A)<r(A\mid\boldsymbol{b})\ \Rightarrow\ \text{无解}$$
高斯消元法：对增广矩阵 $(A\mid\boldsymbol{b})$ 作初等行变换（交换两行、某行乘非零常数、某行倍数加到另一行），化为行阶梯形后回代求解。
六、矩阵的秩
秩 $\operatorname{rank}(A)$
$$= \text{最高阶非零子式的阶数} = \text{行阶梯形中非零行的行数}$$
性质：$r(A)\le\min(m,n)$；初等变换不改变秩；$r(AB)\le\min(r(A),r(B))$。齐次方程组有非零解 $\iff r(A)<n$。
例题与解答
例题1
设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求 $A^{-1}$。
解：$\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0$，故可逆。二阶伴随公式 $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$：
$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.$$
验证 $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$ ✓。
例题2
用高斯消元法解：$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6,\\ 2x_1+3x_2+x_3=11,\\ x_1-x_2+x_3=2.\end{cases}$
解：增广矩阵消元：
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
2&3&1&11\\
1&-1&1&2
\end{array}\right)
\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
0&1&-1&-1\\
0&-2&0&-4
\end{array}\right)
\xrightarrow{R_3+2R_2}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
0&1&-1&-1\\
0&0&-2&-6
\end{array}\right).$$
回代：$x_3=3$；第二行 $x_2-x_3=-1\Rightarrow x_2=2$；第一行 $x_1+x_2+x_3=6\Rightarrow x_1=1$。
解为 $(x_1,x_2,x_3)=(1,2,3)$。
本章小结
- 矩阵是数表；运算含加法、数乘、乘法，乘法需"前列数=后行数"，且一般不可交换。
- 转置满足 $(AB)^\top=B^\top A^\top$；注意乘法顺序。
- 方阵可逆 $\iff \det A\neq0$；求逆可用伴随矩阵 $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ 或初等行变换 $(A\mid I)\to(I\mid A^{-1})$。
- 线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 用高斯消元化为行阶梯形；判解看 $r(A)$ 与 $r(A\mid\boldsymbol{b})$。
- 矩阵的秩 = 最高阶非零子式的阶数，决定解的个数。
可视化联系：矩阵乘法可视为对空间的线性变换（旋转、伸缩、剪切）；在 AI-Math 的 ComplexViz 中可观察矩阵如何作用于复平面上的向量。