§1
特征值与特征向量揭示了一个线性变换"沿哪些方向只发生伸缩、不发生偏转"。它们是对角化、矩阵函数、主成分分析（PCA）与微分方程求解的理论核心。
本章目标
- 理解特征值、特征向量的几何意义与代数定义。
- 会求特征多项式与全部特征对（特征值 + 特征向量）。
- 掌握矩阵可对角化的条件与对角化方法。
- 了解特征值在微分方程与 PCA 中的应用。
一、概念与几何意义
定义. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。若存在非零向量 $\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0}$ 和标量 $\lambda$ 使
$$\boxed{A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v},}$$
则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\boldsymbol{v}$ 为对应于 $\lambda$ 的特征向量。
几何意义：特征向量 $\boldsymbol{v}$ 在变换 $A$ 作用下，方向保持不变（或反向），仅被拉伸 / 压缩了 $\lambda$ 倍。$\lambda>1$ 拉伸，$0<\lambda<1$ 压缩，$\lambda<0$ 反向并缩放。特征向量不唯一：若 $\boldsymbol{v}$ 是特征向量，则任意 $k\boldsymbol{v}\ (k\neq0)$ 也是。
二、特征方程
将定义改写为
$$(A-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}.$$
要存在非零解 $\boldsymbol{v}$，系数矩阵必须奇异，即行列式为零：
$$\boxed{\det(A-\lambda I)=0.}$$
这是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式方程，称为 $A$ 的特征方程；多项式
$$p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$
称为 $A$ 的特征多项式（也可写作 $\det(\lambda I-A)$，二者仅差符号 $(-1)^n$）。特征多项式的根即特征值。
求出 $\lambda$ 后，代入 $(A-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$，解齐次方程组即可得到对应的特征向量（基础解系）。
性质：
- 全部特征值之和等于矩阵的迹：$\sum_i\lambda_i=\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$；
- 全部特征值之积等于行列式：$\prod_i\lambda_i=\det A$；
- 不同特征值对应的特征向量线性无关。
三、求解步骤与示例推导
求 $2\times2$ 矩阵 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的特征值：
$$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda\end{vmatrix} =(a-\lambda)(d-\lambda)-bc =\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.$$
这正是 $\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det A=0$，根为
$$\lambda_{1,2}=\frac{\operatorname{tr}(A)\pm\sqrt{\operatorname{tr}(A)^2-4\det A}}{2}.$$
四、相似与对角化
定义. 若方阵 $A,B$ 满足 $B=P^{-1}AP$（$P$ 可逆），则称 $A$ 与 $B$ 相似。相似矩阵有相同的特征多项式（从而相同特征值）。
对角化：若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_n$，将它们作为列构成 $P=(\boldsymbol{v}_1\cdots\boldsymbol{v}_n)$，对应特征值构成对角阵
$$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$$
则
$$AP=A(\boldsymbol{v}_1\cdots\boldsymbol{v}_n)=(\lambda_1\boldsymbol{v}_1\cdots\lambda_n\boldsymbol{v}_n)=P\Lambda,$$
于是
$$\boxed{P^{-1}AP=\Lambda,\qquad A=P\Lambda P^{-1}.}$$
可对角化条件：$n$ 阶矩阵可对角化 ⇔ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ⇔ 每个特征值的几何重数（特征子空间维数）等于代数重数（作为特征多项式根的重数）。
应用 —— 矩阵幂：利用对角化，$A^k=P\Lambda^k P^{-1}$，而 $\Lambda^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$ 极易计算，这在递推与动力系统中极为重要。
五、应用举例
- 线性方程组 $\dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}$：解为 $\boldsymbol{x}(t)=e^{At}\boldsymbol{x}_0$。若 $A$ 可对角化，$e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1}$，$e^{\Lambda t}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1 t},\dots)$，系统长期行为由特征值实部决定（实部<0 则衰减稳定）。
- 主成分分析（PCA）：数据中心化后协方差矩阵 $C$ 的特征向量给出主轴方向，最大特征值对应的特征向量即第一主成分方向。
例题1
求 $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。
解： 特征方程
$$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}3-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{vmatrix} =(3-\lambda)(2-\lambda)=0,$$
故特征值 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=2$。
对 $\lambda_1=3$：解 $(A-3I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$，
$$A-3I=\begin{pmatrix}0&1\\0&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},$$
方程 $-v_2=0\Rightarrow v_2=0$，$v_1$ 自由，取 $\boldsymbol{v}_1=(1,0)^\top$。
对 $\lambda_2=2$：$A-2I=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$，方程 $v_1+v_2=0\Rightarrow v_1=-v_2$，取 $\boldsymbol{v}_2=(1,-1)^\top$。
（验证迹：3+2=5=tr(A)；行列式 6=det A ✓）
例题2
判断 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ 是否可对角化，并求 $A^{10}$。
解： 特征方程 $(2-\lambda)^2=0$，唯一特征值 $\lambda=2$（代数重数 2）。
解 $(A-2I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$：$A-2I=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，任意非零向量都是特征向量，例如可取两个线性无关的 $(1,0)^\top,(0,1)^\top$。因此有两个线性无关特征向量，可对角化。实际上 $A=2I$ 本身就是对角阵。
取 $P=I$，则 $A=P(2I)P^{-1}=2I$。于是
$$A^{10}=(2I)^{10}=2^{10}I=1024\,I=\begin{pmatrix}1024&0\\0&1024\end{pmatrix}.$$
本章小结
- 特征值/向量满足 $A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$，几何上表示"方向不变、仅缩放 $\lambda$ 倍"的方向。
- 特征方程 $\det(A-\lambda I)=0$；特征值为特征多项式的根。
- $\sum\lambda_i=\operatorname{tr}(A)$，$\prod\lambda_i=\det A$；不同特征值的特征向量线性无关。
- 可对角化 ⇔ 有 $n$ 个线性无关特征向量 ⇔ 每个特征值的几何重数 = 代数重数。
- 对角化后 $A=P\Lambda P^{-1}$，从而 $A^k=P\Lambda^k P^{-1}$，广泛用于递推、微分方程与 PCA。
> 可视化联系：在 ComplexViz 中可观察矩阵作用于单位圆：特征值实部决定伸缩/衰减，虚部决定旋转；可对角化矩阵作用等价于沿特征向量方向各自缩放。
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